المعادلات التفاضلية التامة من الدرجة الأولى

الكاتب Muhanad

First Order Exact ODE

المعادلة التفاضلية التامة من الدرجة الأولى.

تعريف:
نقول عن المعادلة التفاضلية $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ أنها تامة إذا وجد تابع $F(x,y)$ قابل للمفاضلة مرة على الأقل بحيث أنّ :

$dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$
أو
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P(x,y)\quad\&\quad\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = Q(x,y)$

ويكن عندئذ يكون الحل العام للمعادلة: $F(x,y) = C$ .

نظرية :
إذا كان التابعين $P(x,y)\;,\;Q(x,y)$ قابلان للتفاضل مرة على الأقل وكانا يحقاقان العلاقة التالية:

$\frac{{\partial P(x,y)}}{{\partial y}} =\frac{{\partial Q(x,y)}}{{\partial x}}$

عندئذ تكون المعادلة $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ تامة.

طريقة الحل :

لتكن المعادلة التامة $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ ولنبحث عن تابع $F(x,y)$ الذي يحقق $dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ .

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P(x,y)\quad\Rightarrow F(x,y) =\int {P(x,y)dx} +\varphi (y)$

ومن المعادلة $\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = Q(x,y)\quad$ نحسب $\varphi (y)$ .

مثال 1 :
بين أنّ المعادلة $(2x + y^3 + 5)dx + (2y + 3xy^2 )dy = 0$ معادلة تامة وأوجد حلها.

لدينا

$\overbrace {(2x + y^3 + 5)}^{P(x,y)}dx +\overbrace {(2y + 3xy^2 )}^{Q(x,y)}dy = 0$

$\frac{{\partial P(x,y)}}{{\partial y}} = 3y^2 =\frac{{\partial Q(x,y)}}{{\partial x}}$

إذا المعادلة تامة .

$\begin{array}{l}\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P(x,y)\quad\\ \\ \Rightarrow F(x,y) =\int {(2x + y^3 + 5)dx} +\varphi (y)\quad\Rightarrow\quad F(x,y) = x^2 + xy^3 + 5x +\varphi (y)\\ \end{array}$

وبالتالي :

$\begin{array}{l}\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = Q(x,y)\Rightarrow\frac{{\partial\left( {x^2 + xy^3 + 5x +\varphi (y)}\right)}}{{\partial y}} = 2y + 3xy^2\;\Rightarrow\\ \\ \varphi '(y) = 2y\Rightarrow\varphi (y) = y^2\\ \\ \end{array}$

بالتعويض نجد أنّ :

$F(x,y) = x^2 + y^2 + xy^3 + 5x$

ويكون الحل العام للمعادلة على الشكل : $x^2 + y^2 + xy^3 + 5x = C$

المعادلات التفاضلية غير التامة والعوامل المكاملة:

تسمى المعادلة التفاضلية غير تامة إذا لم يتحقق الشرط السابق .هناك مجموعة من المعادلة التفاضلية غير التامة يمكن تحويلها إلى معادلة تامة من خلال ضرب طرفي المعادلة بعامل مكامل Integrating Factor $I(x,y)$ بحيث تصح العلاقة :