الحلقية الحرة

Free Module

تعريف

نقول عن مجموعة A من حلقية M على R أنها مستقلة خطيا linearly independent إذا كانت لكل عدد منتهي $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ من عناصر A و $r_i \in R$ فإن

$r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n = 0\quad \Rightarrow \quad r_1 = r_2 = \ldots = r_n = 0$

إذا لم تكن A مستقلة خطيا فإنها تسمى مرتبطة خطيا linearly dependent. المجموعة A تسمى أساس basis للحلقية M إذا كانت مستقلة خطيا وتولد M. لاحظ أن المجموعة الخالية مستقلة وتولد الحلقية الصفرية. الحلقية M التي تملك أساس تسمى حلقية حرة free module.

من التعريف يتضح أنه في حالة ما تكون $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ مجموعة منتهية و $r_i \in R$ فإن A مستقلة خطيا إذا كان $r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n = 0$ يقتضي $r_1 = r_2 = \ldots = r_n = 0$ .

ملاحظة

تشابه بعض المصطلحات بين الحلقية والفضاء الاتجاهي مثل الأساس والتوليد والاستقلال الخطي يسبب أحينا بعض التعميم الخاطئ, على سبيل المثال كل مجموعة توليد لفضاء اتجاهي تتضمن مجموعة تمثل أساس له, في الحلقيات ليس في كل مجموعة مولدة للحلقية أساس. كذلك في الفضاءات المتجهة يمكن الحديث دائما عن البعد أو عدد المتجهات المستقلة خطيا المولدة للفضاء ولكن في الحلقيات قد نجد حلقية لها أساسين ولكل واحد منهما عدد مختلف من العناصر. إذا أردنا الحصول على نتائج في الحلقيات مشابهة لنظائرها في الفضاءات الاتجاهية فهذا يتطلب مزيد من الشروط على الحلقية.

أمثلة

1. كل فضاء إتجاهي على حقل F ومنتهى الأبعاد هو حلقية على F حرة ذات مولدات منتهية.

2. الحلقية $\mathbb{Z}$ كحلقية على نفسها هي ذات مولدات منتهية ولكنها غير حرة.

3. إذا كانت $\mathbb{Q}$ مجموعة الأعداد النسبية فإنها حلقية على $\mathbb{Z}$ ولكن ليست حرة. في البداية لاحظ أن أي عددين نسبيين $p,q \ne 0$ هما مرتبطين خطيا, لذلك أي أساس للحلقية $\mathbb{Q}$ لن يحوي أكثر من عنصر ولنفرض أنه $a/b$ . بدون فقد عمومية المسألة يمكن فرض أن b موجب وأن $(a,b) = 1$ . عناصر الحلقية B التي يولدها $a/b$ هي $na/b$ حيث n عدد صحيح. العدد $1/(q + 1) \notin B$ لا خلاف هذا يؤدي إلى أن $na = b/(b + 1)$ حيث n عدد صحيح وهذا مستحيل.

تمييز الحلقية الحرة

مبرهنة1: لتكن $M \ne 0$ حلقية على R. التقارير التالية متكافئة:

(1) M حلقية حرة.

(2) M عبارة عن جمع مباشر داخلي لعائلة من حلقيات على R دائرية وكل حلقية منها تشاكل R.

(3) M تشاكل حلقي جمع مباشر لنسخ من R (باعتبار R كحلقية على نفسها).

(4) يوجد مجموعة غير خالية A وتطبيق $i:A \to M$ بالخاصية التالية: إذا كان N أي حلقية على R وكانت $\theta :A \to N$ تطبيق فإنه يوجد تشاكل حلقيات $\hat \theta :M \to N$ بحيث $\hat \theta i = \theta$ .

هذه المبرهنة تحتاج لإثباتها لإلمام بالجمع المباشر الداخلي في حالة عدد لا نهائي من الحلقيات والذي ربما يكون غير مألوف لدى متعلمي نظريات الحلقيات سوى في الحالة المنتهية فقط لذلك سنناقش إثبات المبرهنة في حالة حلقيات حرة ذات مولدات منتهية ونحيل المهتم بالحالة العامة وبرهانها إلى ALGEBRA, Thomas W. Hungerford.

النسخة (الخفيفة) من المبرهنة أعلاه الخاصة بالحلقيات الحرة ذات المولدات المنتهية نصيغها الآن بشكل مستقل ولكن نحتاج أولا لتقديم التعريف التالي المتعلق بمضمون البند (4) من المبرهنة أعلاه.

تعريف 2

إذا كانت A مجموعة جزئية من حلقية M على R فإننا نقول أن A تولد M بحرية (generates M freely) إذا كان:

(1) A تولد الحلقية M.

(2) لكل تطبيق $\theta :A \to N$ من A إلى حلقية N على R يمكن تمديده إلى تشاكل $\hat \theta :M \to N$ .

تمييز الحلقية الحرة ذات المولدات المنتهية

مبرهنة3 (نسخة للحلقيات ذات المولدات المنتهية): لتكن $M \ne 0$ حلقية على R. التقارير التالية متكافئة:

(1) $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ أساس للحلقية M.

(2) $M = Ra_1 \oplus Ra_2 \oplus \cdots \oplus Ra_n$ وهذا بالطبع يكافئ (كل عنصر $m \in M$ يمكن التعبير عنه بالصيغة $m = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n$ بطريقة وحيدة و $r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n \in R$ ).

(3) $M \cong {}_RR \oplus {}_RR \oplus \cdots \oplus {}_RR$ بعدد n نسخة من ${}_RR$ , (تذكر ${}_RR$ تعني R حلقية على نفسه).

(4) $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ تولد M بحرية.

البرهان:

$(2) \Leftarrow (1)$ : بما أن A تولد M فإن $M = Ra_1 + Ra_2 + \ldots + Ra_n$ وبالتالي كل $a \in M$ يمكن كتابته

$a = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n$

لإثبات أن هذا تمثيل وحيد افرض أن

$a = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n = s_1 a_1 + s_2 a_2 + \ldots + s_n a_n$

حيث $r_i ,s_i \in R$ . إذا $(r_1 - s_1 )a_1 + \ldots + (r_n - s_n )a_n = 0$ وبالتالي $r_i - s_i = 0$ لأن A مستقلة خطيا. إذا $r_i = s_i$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ أي أن لتمثيل وحيد. إذا

$M = Ra_1 \oplus Ra_2 \oplus \cdots \oplus Ra_n$

$(3) \Leftarrow (2)$ : لأي $a_i \in A$ عرف التطبيق $\phi _i :R \to Ra_i$ بالعلاقة $\phi _i (r) = ra_i$ . من السهل التحقق من أن $\phi _i$ تشاكل حلقيات. وهو شامل لأن $Ra_i = \{ ra_i :r \in R\}$ . وأحادي لأن $ra_i = 0$ فقط عندما $r = 0$ وذلك لأن $a_i$ من عناصر الأساس A. إذا $R \cong Ra_i$ . لذلك إذا عرفنا

$\phi :R \oplus R \oplus \cdots \oplus R \to Ra_1 \oplus Ra_2 \oplus \cdots \oplus Ra_n$

بالعلاقة $\phi (r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n ) = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \cdots + r_n a_n$ فإن $\phi$ تماثل حلقيات.

$(1) \Leftarrow (3)$ : افرض أن $M \cong \sum\nolimits_{i = 1}^n {^ \oplus R_i }$ حيث $R_i = R$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ وليكن $\phi$ هو تشاكل الحلقيات (الأحادي والشامل) الخاص بهذا التماثل. العناصر

$e_1 = (1,0,0, \ldots ,0),\;e_2 = (0,1,0 \ldots ,0),\; \ldots ,\;e_n = (0,0,0, \ldots ,1)$

تولد $\sum\nolimits_{i = 1}^n {^ \oplus R_i }$ وهي تمثل أساس لأنها مستقلة خطيا. ندعي أن $\{ \phi (e_i )\}$ تمثل أساس للحلقية M. لإثبات هذا افرض أن $a \in M$ . بما أن $\phi$ شامل يوجد $r_i \in R$ بحيث

$\phi \left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i e_i } } \right) = a\;\; \Rightarrow \sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i \phi (e_i ) = a}$

إذا نأن $\{ \phi (e_i )\}$ تولد M. إذا كانت $s_i \in R$ بحيث

$s_1 \phi (e_1 ) + s_2 \phi (e_2 ) + \cdots + s_n \phi (e_n ) = 0$

فإن $\phi (s_1 e_1 + s_2 e_2 + \cdots + s_n e_n ) = 0$ وبالتالي $s_1 e_1 + s_2 e_2 + \cdots + s_n e_n = 0$ لأن $\phi$ أحادي كتطبيق. إذا $s_1 = s_2 = \cdots = s_n = 0$ لأن $e_1 ,\;e_2 ,\; \ldots ,\;e_n$ مستقلة. إذا $\{ \phi e_1 ,\;\phi e_2 ,\; \ldots ,\;\phi e_n \}$ أساس للحلقية M.

وبذلك نكون قد أثبتنا أن $(1) \cong (2) \cong (3)$

$(4) \Leftarrow (1)$ : افرض أن $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ أساس للحلقية M. بموجب $(1) \cong (2)$ كل عنصر $m \in M$ يمكن التعبير عنه بالصيغة

$m = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n$

وبطريقة وحيدة و $r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n \in R$ . لتكن N أي حلقية على R. إذا كان $\theta :A \to N$ تطبيق حيث $\theta (a_i ) = b_i$ فإن من السهل التحقق من أن

$\hat \theta (a) = \hat \theta (r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n ) = r_1 \theta (a_1 ) + r_2 \theta (a_2 ) + \ldots + r_n \theta (a_n )$

تمديد للتطبيق $\theta$ إلى تشاكل, وحيث M تولد A فإن A تولد M بحرية.

$(1) \Leftarrow (4)$ افرض أن $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ تولد M بحرية. إذا A تولد M. وكما مر معنا للتو, المجموع المباشر (الخارجي)

$N = R \oplus R \oplus \cdots \oplus R$

المكون من n نسخة من R (بأخذ R حلقية على نفسها) له الأساس:

$e_1 = (1,0,0, \ldots ,0),\;e_2 = (0,1,0 \ldots ,0),\; \ldots ,\;e_n = (0,0,0, \ldots ,1)$

ليكن $\phi :M \to N$ امتداد التطبيق $a_i \to e_i$ وليكن $\sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i a_i } = 0$ حيث $r_i \in R$ . إذا

$\phi \left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i a_i } } \right) = 0\quad \Rightarrow \sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i \phi (a_i )} = 0 \Rightarrow \sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i e_i = 0}$

وبالتالي $r_i = 0$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ وبالتالي A مستقلة خطيا. إذا A أساس للحلقية M.

نتيجة4: الحلقية M على R تكون حرة و ذات مولدات منتهية إذا وإذا فقط وجد n بحيث $M \cong R^n$ . كحالة خاصة كل فضاء اتجاهي منتهي البعد على حقل k يماثل $k^n$ لعدد صحيح ما n.

البرهان: افرض أن M حلقية حرة وذات مولدات منتهية $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ . عرف $\phi :R^n \to M$ بالقاعدة:

$\phi \left( {(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n )} \right) = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n$

واضح أن $\phi$ تشاكل حلقيات. بما أن A تولد M فإن $\phi$ شامل وبما أن A مستقلة خطيا فإن $\phi$ أحادي, تأكد. إذا $M \cong R^n$ .

عكسيا, إذا كان هناك تشاكل حلقيات $\phi :R^n \to M$ شامل وأحادي, فإن كل عنصر $a \in M$ يمكن أن يكتب بشكل وحيد على الصورة

$a = r_1 \phi (e_1 ) + r_2 \phi (e_2 ) + \ldots + r_n \phi (e_n )$

حيث $e_1 = (1,0,0, \ldots ,0),\;e_2 = (0,1,0 \ldots ,0),\; \ldots ,\;e_n = (0,0,0, \ldots ,1)$ .

مبرهنة5: لتكن M حلقية على R بحلقية جزئية K. إذا كانت $M/K$ حلقية حرة وذات مولدات منتهية فإنه يوجد حلقية F جزئية من M بحيث:

(1) الحلقية F حرة وذات مولدات منتهية و $F \cong M/K$ .

(2) $M = K \oplus F$ .

البرهان: هذا ملخص لبرهان لا يعتمد على نظريات التماثل في الحلقيات. افرض أن $M/K$ لها الأساس:

$A = \{ a_1 + K,a_2 + K, \ldots ,a_n + K\}$

خذ الحلقية $F = Ra_1 + Ra_2 + \cdots + Ra_n$ وعرف التطبيق $\phi :M/K \to F$ حيث

$\phi \left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i (a_i + K)} } \right) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i a_i }$

التطبيق $\phi$ تشاكل حلقيات شامل, تأكد. أيضا متباين حيث أن $\sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i a_i } = 0$ تقتضي أن

$0_{m/K} = 0 + K = \left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {r_i a_i } } \right) + K = \sum\nolimits_{i = 1}^n {(r_i a_i + K)}$

وبالتالي $r_1 = r_2 = \ldots = r_n = 0$ لأن A أساس للحلقية $M/K$ . إذا $\phi$ أحادي حيث $\ker \phi = \{ 0\}$ . إذا F حرة وذات مولدات منتهية لأنها تماثل $M/K$ .