تعاريف و حقائق أساسية

The Fundamental Facts and Definitions

تعريف (مقارنة التوبولوجي)

إذا كان لدينا $\tau_1, \tau_2$ توبولوجي على المجموعة $X\ne \phi$ فإننا نقول :
1) التوبولوجي $\tau_1$ أقوى من ( finer than, Stronger than ) $\tau_2$ إذا و فقط إذا $\tau_2 \subseteq \tau_1$ .

2) التوبولوجي $\tau_1$ أضعف ( weaker than, coarser than ) $\tau_2$ إذا و فقط إذا $\tau_1 \subseteq \tau_2$ .

و في الحالتين الأولى و الثانية نقول على أن التوبولوجي $\tau_1$ و $\tau_2$ قابلات للمقارنة ( Comparable ) .

3) التوبولوجي $\tau_1$ و $\tau_2$ غير قابلات للمقارنة ( Incomparable) إذا و فقط إذا $\tau_1 \not\subseteq \tau_2$ و $\tau_2 \not\subseteq \tau_1$ .

أمثلة :
كما بينا في [[فضاءات توبولوجية هامة]] بعض الأمثلة الهامة نجد ما يلي :

على اعتبار أن $X=\mathbb R$ فنلاحظ أن :

1) جميع أنواع التوبولوجي تكون احتواء في $\tau_{dis}$ ، أي أن $\tau_{dis}$ أقوى أنواع التوبولوجي .

2) نلاحظ أن $\tau_{ind}$ احتواء في جميع أنواع التوبولوجي الأخرى ، أي أن $\tau_{ind}$ أضعف أنواع التوبولوجي .

3) نلاحظ أن $\tau_{cof} \subseteq \tau_{coc}$ .

4) و نلاحظ أن $\tau_{right}\subseteq \tau_{u}$ و $\tau_{left} \subseteq \tau_{ u}$ .

5) و نلاحظ أيضاً $\tau_{left} \not\subseteq \tau_{right}$ و $\tau_{right}\not\subseteq \tau_{left}$ . أي أنهما غير قابلات للمقارنة .

ملاحظات عامة :

1) ليكن لدينا $X=\mathbb R$ و ليكن لدينا :

$\tau_1 =\{ \phi, \mathbb R ,\{5\} \} , \tau_2=\{\phi, \mathbb R , \{9\}\}$

نلاحظ أن كل من $\tau_1$ و $\tau_2$ توبولوجي على $\mathbb R$ ، و لكن هل $\tau_1 \cup \tau_2$ ؟
بالتأكيد لا ، و السبب يعود إلى $\{2\}\cup\{3\}=\{2,3\} \not\subseteq \tau_1\cup \tau_2$ .

اتحاد عدة أنواع توبولوجية على الفضاء $X$ ليس شرطاً أن يكون الناتج فضاء توبولوجي .

فكر : متى يكون حاصل اتحادهم فضاء توبولوجي ؟

2) إذا كان لدينا $\{\tau_a : a\in \Delta \}$ عائلة من التوبولوجي على المجموعة $X$ .
و بالتالي :

$\tau=\bigcap\limits_{a\in \Delta} \tau_a$

عبارة عن توبولوجي على $X$ .
الإثبات :

اعتمد على أن كل مجموعة مفتوحة في $\tau$ إذا و فقط إذا متممة المجموعة مغلقة ، و تحقق من الشروط بنفسك .

3) كما أشرنا سابقاً أن اتحاد عدد من المجموعات المفتوحة يجب أن يكون مجموعة مفتوحة ، و لكن هذا الأمر لا يتحقق في حالة التقاطع ، أي تقاطع عدد من المجموعات المفتوحة ليس شرطاً مجموعة مفتوحة .

و في حالة خاصة عند تقاطع عدود من المجموعات المفتوحة تسمى المجموعة $G_\delta$ .

و بالتالي التقاطع المحدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة و هو الشرط الثاني في شروط التوبولوجي على أي مجموعة .

و كذلك الأمر بالنسة للمجموعات المغلقة مع استبدال كلمة تقاطع باتحاد و العكس .

أي اتحاد مجموعات مغلقة ليس شرطاً أن يكون مجموعة مغلقة مالم يكن الإتحاد محدود ، و لكن تقاطع عدد من المجموعات المغلقة الناتج لا بد أن يكون مجموعة مغلقة .

و في حالة إن كان لدينا اتحاد قابل للعد منها تسمى المجموعة $F_\sigma$ .

للمعلومات عن $F_\sigma$ و $G_\delta$ انظر في [[مجموعات اف-سيجما جي-دلتا]] و ستجد معلومة لإستثمارها في بناء أمثلة كما ذكر هنا .
دعنا نناقش المثال الآتي لترسيخ فكرة المجموعة المغلقة و المفتوحة في فضاء توبولوجي معين :

ليكن لدينا $(\mathbb R , \tau_u)$ ، نلاحظ ما يلي :

أ‌) $(0,1]$ : ليست مجموعة مفتوحة بسبب أنه لا يمكن إيجاد $(a,b)$ بيحث :

$1\in (a,b) \subseteq (0,1]$

و أيضاً $(0,1]$ ليست مجموعة مغلقة بسبب :

$\mathbb R -(0,1] = ( -\infty, 0]\cup (1,\infty)$

ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب .
ب‌) $[0,1]$ : ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب السابق ، و لكنها مجموعة مغلقة بسبب :

$\mathbb R - [0,1] = (-\infty, 0) \cup (1,\infty )$

مجموعة مفتوحة في $\tau_u$ .
ج) $\{x\}$ : ليست مجموعة مفتوحة ، بسبب أنه لا يمكن أتحوي على فترة ، و لكنها مجموعة مغلقة بالتأكيد لنفس الأسباب السابقة .

د) $(0,1)$ : مجموعة مفتوحة و ليست مجموعة مغلقة .

ه) $\{190\}\cup (0,1)$ : ليست مجموعة متفوحة بسبب لا يمكنها احتواء أي فترة تحوي الرقم $190$ .

و ليست مجموعة مغلقة بسبب أن متممتها ليست مجموعة مفتوحة .

بنفس الطريقة يمكن مناقشة المجموعات السابقة في الفضاءات التوبولوجية الأخرى .( متروك للقارىء) .

هنالك نظرية رائعة تبين إن كانت المجموعة مفتوحة أو لا و هي :

نظرية (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ و لتكن $A\in X$ ، فتكون المجموعة $A$ مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا لكل نقطة $x\in A$ يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $U$ بحيث $x\in U\subseteq A$ .
الإثبات :
الإتجاه الأول واضح على اعتبار أن $U=A$ لكل النقاط .
الإتجاه الآخر :
لتكن $x\in A$ و أنه يوجد لدينا $U$ مجموعة مفتوحة بحيث $x\in U\subseteq A$ ، وبما ان التوبولوجي مغلق تحت أي اتحاد للمجموعات المفتوحة ، فإنه يمكن كتابة المجموعة $A$ بالشكل الآتي :

$A=\bigcup\limits_{x\in A} \{U_x : x\in U_x\subseteq A \}$

تعريف ( الكلوجر أو الإغلاق Closure )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ ، و لتكن $A\subseteq X$ ، فيكون الكلوجر Closure (إغلاق) للمجموعة $A$ أصغر مجموعة مغلقة تحوي المجموعة $A$ و يكتب الكلوجر للمجموعة $A$ بالرمز $\overline{A}$ .
نستطيع صياغة التعريف بطريقة أخرى و هي :

$\overline A =\bigcap \{ F : F \text{ \ is closed}, A \subseteq F \}$

و بالتالي نستنتج ما يلي :

1) $A \subseteq \overline A$ .

2) إذا كانت $A$ مجموعة مغلقة ، فإن $A=\overline A$ .

3) إذا كان لدينا $A\subseteq B$ فإن $\overline A \subseteq \overline B$ .

4) $\overline{A\cup B} =\overline A \cup \overline B$ .

الإثبات :
فرع (1) و (2) و (3) واضح من خلال التعريف .
إثبات (4) :
بما أنه لدينا $A \subseteq \overline A$ و $B \subseteq \overline B$ ، فإن :

$A\cup B \subseteq \overline A \cup \overline B$

و لكن $\overline A \cup \overline B =\overline {\overline A \cup \overline B}$ ، بسبب أن اتحاد محدود من مجموعات مغلقة يكون مجموعة مغلقة و بالتالي :

$\overline{A\cup B} \subseteq \overline A \cup \overline B$

و الاتجاه الآخر :
بما أن $\overline A \subseteq \overline {A\cup B}$ و $\overline B \subseteq \overline {A\cup B}$
ينتج المطلوب .
يطرح السؤال الآتي :

كيف يمكنني أن أقوم بعملية حساب الكلوجر لمجموعة محددة ؟

من خلال النظرية التي ستعرض حالياً سيصبح الأمر بسيطاً :

نظرية :
ليكن لدينا $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي و لتكن $A\subseteq X$ و بالتالي :
$x\in \overline A$ إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة $x\in U$ يكون لدينا $U\cap A\ne\phi$

الإثبات :
ليكن لدينا $x\in \overline A$ و لنفرض أنه يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $x\in U$ بحيث :

$U\cap A =\phi$

الآن افرض أن $F=X-U$ ، بما أن $\overline A \subseteq F$ و هذا تناقض .
الإتجاه الآخر :
لنفرض أن $x\not\in A$ و لنفرض أن $U=X-\overline A$ .

و بالتالي $U$ مجموعة مفتوحة تحوي النقطة $x$ و لا تقطع المجموع $A$ و هذا تناقض .

يمكن اسثمار هذه النظرية في إيجاد الكلوجر للمجموعات عن طريق البحث للنقاط التي لأي مجموعة مفتوحة تحويها يجب أن تقطع المجموعة المراد حساب الإغلاق لها .

لندرس الأمثلة الآتية في عدة فضاءات مختلفة :

ليكن لدينا $X=\mathbb R$ و لنفرض أن $A= (0,1)\cup\{2\}$ ، نريد إيجاد $\overline A$ في كل من :

1) $(\mathbb R , \tau_u)$ :

و بالنسبة لجميع النقاط الأخرى ، يمكن إيجاد فترة بقياس $\epsilon$ صغير بحيث لا تقطع المجموعة $A$ .
و بالتالي $\overline A = [0,1]\cup\{2\}$ .

2) $(\mathbb R , \tau_{left})$ :

لاحظ أي شعاع أيسر مفتوح يحوي النقطة $0$ لا بد أن يقطع المجموعة $A$ ، بل كل النقاط التي تكون أكبر من $0$ لأي شعاع أيسر لا بد أن يقطعها . و بالتالي جميعها في الكلوجر .

أما بالنسبة للنقاط التي تكون قبل الصفر ،يمكن اختيار شعاع أيسر لا يقطع $A$ و بالتالي $]\overline A=[0,\infty)$ .

3) $(\mathbb R , \tau_{right})$ :

بنفس الطريقة السابقة نجد $\overline A = (-\infty, 2]$ .

4) $(\mathbb R , \tau_{cof})$ :
لاحظ أن كل نقطة على خط الأعداد لا يمكن أن يكون لها مجموعة مفتوحة بحيث متممتها مجموعة محدودة دون ان تقطع المجموعة $A=\mathbb R$ .و نفس الشيء للتوبولوجي $\tau_{coc}$ .

5) $(\mathbb R , \tau_{ind})$ :

لا يوجد مجموعة مفتوحة تحوي نقاط المجموعة $A$ غير $\mathbb R$ .
و بالتالي $\mathbb R = \overline A$ .

6) $(\mathbb R , \tau_{dis})$ :

نلاحظ أن كل نقطة $\{x\}$ عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي المتقطع أي أن $\overline A=A$ .

نلاحظ من الأمثلة السابقة ما يلي :

أ‌) أن كل مجموعة $A$ في $\tau_{cof}$ تكون مغلقة إذا و فقط إذا كانت محدودة .

و السبب بشكل بسيط كل نقطة خارج $A$ يكون لدينا $X\backslash A$ مجموعة مفتوحة تحوي النقطة ولا تقطع $A$ .

ب‌) عناصر التوبولوجي $\tau_{dis}$ هي مجموعات كلوبن ( مغلقة و مفتوحة بنفس الوقت ) بل نستنتج ما يلي :
التوبولوجي $\tau=\tau_{dis}$ إذا و فقط إذا لكل نقطة $x\in X$ يكون لدينا المجموعة $\{x\}\in \tau$ .
الإتجاه الأول واضح .

الآن لدينا $\tau \subseteq \wp(X)$ .

يبقى إثبات لكل مجموعة $U\in \wp(X)$ هي مجموعة في $\tau$ .

و لكن لدينا $U =\bigcup\{ \{x\} : x\in U \}$ هي مجموعة مفتوحة في $\tau$ حسب المعطى .
و بالتالي $U \in \tau$ .

و منها نصل إلى أن $\tau=\tau_{dis}=\wp(X)$ .

ج) من خلال طريقة حساب الكلوجر للمجموعات نستنتج أن :

$\overline A \cap \overline B= \overline{A\cap B}$

ليست دائماً صحيحة ، خذ مثلاً المجموعتين $A=(5,10), B=(10, 12)$ كلاهما مجموعتين مفتوحتين في التوبولوجي المعتاد و لكن لا يحقق المقولة السابقة .
و لكن دائماً لدينا :

$\overline{A\cap B} \subseteq \overline A \cap \overline B$

تعريف ( النقط الصماء Cluster points )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ ، و لتكن $A\in X$ ، فإننا نقول عن النقطة $x\in X$ عبارة عن نقطة صماء للمجموعة $A$ إذا وفقط إذا لكل مجموعة مفتوحة $U$ تحوي النقطة $x$ فإن :

$A\cap U\backslash \{x\} \ne \phi$

أي أن المجموعة $U$ تقطع المجموعة $A$ دون النقطة $x$ .

يرمز لمجموعة النقاط الصماء للمجموعة $A$ بالرمز $A'$ و تسمى Derived set ،و نسمي النقطة الصماء باسم Cluster point ، Accumlation point ، Llimit point.

و بنفس الطريقة التي قمنا حساب الكلوجر للمجموعة ، نستطيع من خلال هذه النظرية نستطيع أن نحسب النقط الصماء للمجموعة ، لندرس الأمثلة الآتية :

ليكن لدينا $X=\mathbb R$ و لنفرض أن $A= (0,1)\cup\{2\}$ ، نريد إيجاد $\overline A$ في كل من :

1) $(\mathbb R , \tau_u)$ :

لندرس النقاط خارج المجموعة $A$ ، فنلاحظ حسب تعريف الفضاء التوبولوجي المعتاد أن أي فترة مفتوحة تحوي النقطة $0$ ، و بالتالي الصفر ينتمي لمجموعة الإغلاق ، و كذلك الأمر بالنسبة للنقطة $1$ .
و بالنسبة لجميع النقاط الأخرى ، يمكن إيجاد فترة بقياس $\epsilon$ صغير بحيث لا تقطع المجموعة $A$ مع إزالة النقطة منها .
و بالتالي $A' = [0,1]\cup\{2\}$ .

2) $(\mathbb R , \tau_{left})$ :

لاحظ أي شعاع أيسر مفتوح يحوي النقطة $0$ لا بد أن يقطع المجموعة $A$ ، بل كل النقاط التي تكون أكبر من $0$ لأي شعاع أيسر لا بد أن يقطعها مع إزالة النقطة منها . و بالتالي جميعها في $A'$ .

أما بالنسبة للنقاط التي تكون قبل الصفر ،يمكن اختيار شعاع أيسر لا يقطع $A$ مع إزالة النقطة منها.

و بالتالي $] A'=[0,\infty)$ .

• ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على $\mathbb R$ ، و لتكن لدينا المجموعتين $A=\{\frac 1n : n\in \mathbb N\}$ و المجموعة $B=\mathbb Q$ .

جد ما يلي :

1) $\overline A$ :

لاحظ تماماً أن كل نقطة في المجموعة $A$ لا بد أي فترة مفتوحة تحوي تلك النقطة يجب أن تقطع المجموعة $A$ ، و لاحظ أيضاً أن $0$ لاي فترة مفتوحة تحويه لا بد أن تقطع المجموعة $A$ .

و بالتالي : $\overline A = A \cup\{0\}$ .

2) $A'$ :

لاحظ لكل فترة مفتوحة تحوي أي نقطة من $A$ ، فإنه يمكن اختيار $\epsilon$ بشكل صغير بحيث لا يقطع المجموعة $A$ مع إزالة النقطة منها .

إلا أن $0$ ، لا بد لأي فترة تحويه أن تقطع المجموعة $A$ بدونه .

و بالتالي $A'=\{0\}$ .

3) استنتج بنفسك أن $\overline B =B'=\mathbb R$ .

تعريف ( نقطة إنعزال Isolated Point )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ ، و لتكن $A\in X$ ، فإننا نقول عن النقطة $x\in X$ عبارة عن نقطة إنعزال للمجموعة $A$ إذا وفقط إذا كان يوجد مجموعة مفتوحة $U$ تحوي النقطة $x$ و كان :

$A\cap U= \{x\}$

نرمز لمجموعة نقاط الإنعزال للمجموعة $A$ بالرمز $A^s$ .

لتوضيح المفهوم :

في الفضاء التوبولوجي $( \mathbb R,\tau_u)$ نلاحظ أن نقاط الإنعزال للمجموعة $A=\mathbb Z$ هي نفسها ، و بالمقابل نجد ان نقاط الصماء لها هي المجموعة $\phi$ .

لو أخذنا مثلاً المجموعة $C= (0,1)\cap \mathbb Q$ ، فنلاحظ أنه لا يمكن أن نجد فترة واحد تحوي أي نقطة بحيث تكون حاصل تقاطعها مع $C$ هي النقطة فقط .

وبالتالي $C^s=\phi$ و لكن $C'=[0,1]$ .

تعريف ( داخلية المجموعة Interior of Set )

ليكن لدينا $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي ، و لتكن $A\subseteq X$ .
نقول عن النقطة $x\in A$ هي نقطة داخلية للمجموعة $A$ إذا وفقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $U$ تحوي النقطة $x$ و يكون لدينا :

$x\in U \subseteq A$

نرمز لمجموعة النقاط الداخلية للمجموعة $A$ بالرمز $Int(A)$ أو بالرمز $A^\circ$ .

لنوضح المفهوم بمثال بسيط :

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(\mathbb R , \tau_{left})$ ، و لتكن $C= (0,1)\cap \mathbb Q$ ، فنلاحظ لو تم أخذ أي نقطة داخل $C$ ، فإن أي شعاع أيسر (شكل المجموعة المفتوحة) يحوي النقطة، لا يمكن و بأي شكل من الأشكال ان يكون احتواء في المجموعة $C$ .

و بالتالي $Int(A)=\phi$ .

إذن نلاحظ لا يعني داخلية المجموعة هي النقاط التي بداخله ، و إنما النقاط التي إذا حوطت بمجموعة مفتوحة تبقى احتواء داخل نفس المجموعة .

ملاحظات :

1) نلاحظ من نظرية (*) أن $Int(A)$ هي مجموعة مفتوحة .
الإثبات بسيط بالإعتماد على تعريف داخلية المجموعة .

2) داخلية المجموعة هي أكبر مجموعة مفتوحة إحتواء في المجموعة ، على عكس تعريف كلوجر للمجموعة بأنها أصغر مجموعة مغلقة تحوي المجموعة .

3) تكون المجموعة $A$ مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا $Int(A)=A$ .

الإثبات لها أيضاً واضح من خلال تعريف داخلية المجموعة .

4) داخلية المجموعة $A$ هي عبارة عن :

$Int(A)=\bigcup\limits_{a\in \Delta} \{ U_a : U_a \text{\ is o{p}en } , U_a \subseteq A \}$

تعريف ( خارجية المجموعة Exterior of Set )

ليكن لدينا $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي ، و لتكن $A\subseteq X$ .
نقول عن النقطة $x\in X-A$ هي نقطة خارجية للمجموعة $A$ إذا وفقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $U$ تحوي النقطة $x$ و يكون لدينا :

$x\in U \subseteq X-A$

نرمز لمجموعة النقاط الخارجية للمجموعة $A$ بالرمز $Ext(A)$ .

ما ينطبق على طرق حساب داخلية المجموعة $A$ ينطبق على خارجية المجموعة $A$ ، و لكن بتديل المجموعة $A$ بــ $X-A$ .
و طريقة حساب خارجية المجموعة هي نفس أسلوب حساب داخلية المجموعة .

فمثلاً :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(\mathbb R , \tau_{cof})$ و لتكن لدينا المجموعة $A=(-\infty, 700)$ ، فإن خارجية المجموعة $A$ هي $Ext(A)=\phi$ ، بسبب أنه لا يمكن أن يكون لدينا مجموعة مفتوحة تحوي أي نقطة $x\in (-\infty, 700)^c$ و تكون احتواء في المتممة .

تعريف ( حدود المجموعة Boundary of set )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X, \tau)$ و لتكن المجموعة $A\subseteq X$ فإننا نقول أن النقطة $x\in X$ هي عبارة عن نقطة تقع على حدود المجموعة $A$ إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة $U$ تحوي النقطة $x$ يكون لدينا :

$U\cap A \ne \phi$ و $U\cap X\backslash A \ne \phi$

و نرمز لمجموعة النقاط التي تقع على حدود المجموعة $A$ بالرمز $Bd(A)$ .

لندرس الأمثلة الآتية :

ليكن لدينا $A=(5,14) \cup\{20,45\}$ .
1) $Bd(A)$ في الفضاء التوبولوجي $(\mathbb R, \tau_{cof})$ سنجد أن :

$Bd(A)=\mathbb R$ .

2) و في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، سنجد أن $Bd(A)=\{ 5,14, 20, 45 \}$ .
و السبب يعود لشكل المجموعات المفتوحة في كل توبولوجي .

تعريف ( المجموعة الكثيفة Dense Set )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ ، و ليكن لدينا $A\subseteq X$ ، فإننا نقول عن المجموعة $A$ مجموعة كثيفة في الفضاء التوبولوجي إذا و فقط إذا كان لدينا $\overline A=X$ .

لاحظ أنه يترجم التعريف السابق إلى ما يأتي :
لكل $x\in X$ ولكل مجموعة مفتوحة $U$ تحوي $x$ فإنه لدينا :

$U\cap A \ne \phi$

أي يجب كل المجموعات المفتوحة تقطع $A$ .
مثال :
لاحظ في الفضاء التوبولوجي المعتاد أن مجموعة الأعداد النسبية و الغير نسبية كثيفة . و السبب يعود أن كل مجموعة مفتوحة لا بد تقطعهما ، بل لو قمنا بحساب الكلوجر لهما لوجدناه أن يعطي $\mathbb R$ .

تعريف ( المجموعة المتناثرة Nowhere Dense Set )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ ، و ليكن لدينا $A\subseteq X$ ، فإننا نقول عن المجموعة $A$ مجموعة متناثرة في الفضاء التوبولوجي إذا و فقط إذا كان لدينا $Int(\overline A))=\phi$ .

لندرس المثال الآتي لتوضيح المفهوم :
في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، ليكن لدينا $A=\{\frac 1n : n\in \mathbb N\}$ ، و بالتالي :

$\overline A=A\cup\{0\}$ و $Int(\overline A)=\phi$ .

أي أن $A$ مجموعة متناثرة .

تعريف ( المجموعة التامة Perfect Set )

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ ، و لتكن $A\subseteq X$ ، نقول عن المجموعة $A$ بأنها مجموعة تامة إذا و فقط إذا $A=A'$ .

نظرية :

في أي فضاء توبولوجي $(X,\tau)$ ، و لأي مجموعة $A\subseteq X$ ، فإن :

$A$ مجموعة تامة إذا و فقط إذ اكان $A=\overline A$ و $A^s=\phi$ .

الإثبات :

الإتجاه الأول :

إذا كانت $A$ مجموعة تامة ، فإن $\overline A=A\cup A'$ ، و بالتالي حسب تعريف المجموعة التامة ينتج لدينا $\overline A=A$ .

جميع النقاط التي في $X$ إن كانت داخل $A$ فهي نقاط صماء ، و إن كانت خارج $A$ فلا يمكن أن تكون نقاط إنعزال و بالتالي :

$A^s=\phi$

الأتجاه العكسي :

إن كانت $A$ مجموعة مغلقة و حسب $\overline A=A\cup A'$ ، يكون لدينا $A'\subseteq A$ .

الآن حسب حقائق و نظريات في الأسفل ، ينتج لدينا أن :

$X=Int(A)\cup Bd(A)\cup Ext(A)$ و بالتالي من حقيقة (3) و أخذ تقاطع $A^c$ للطرفين ، ينتج لدينا :

$X-A=Ext(A)$

و من حقيقة (2) و تعويض مما نتج سابقاً ، ينتج لدينا :

$A'=A$

حقائق و نظريات

لنرى بعض الحقائق الهامة عما سبق ذكره من التعاريف الهامة :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي $(X,\tau)$ و لتكن $A\subseteq X$ و بالتالي :

1) المجموعة $\{A', A^s, Ext(A)\}$ ، يكون حاصل اتحاد عناصرها المجموعة $X$ و تقاطع أي اثنين من عناصر $\phi$ ، أي أنها تشكل Weak Partition .

2) المجموعة $\{Int(A),Bd(A), Ext(A)\}$ ، يكون حاصل اتحاد عناصرها المجموعة $X$ و تقاطع أي اثنين من عناصر $\phi$ ، أي أنها تشكل Weak Partition .

3) $\overline A=int(A)\cup Bd(A)$ .

4) $\overline A=A\cupA'$ ( أي أنها تغلق في داخلها جميع النقط الصماء لها ).

5) $Bd(A)=\overline A \cup \overline {(X-A)}$ .

6) $X-\overline A =int(X-A)$ .

7) $X-int(A)=\overline {X-A}$ .

8) $Int(A\cap B)=int(A)\cap int(B)$ .

9) $Int(A)\cap Int(B) \subseteq Int(A\cup B)$

10) $(A\cup B)'=A'\cup B'$ .

حيث يمكن إثبات كل حقيقة من الحقائق ببضعة أسطر بسيطة ،و هنالك الكثير من الحقائق الرائعة و الجميلة ، و لكن هذه الحقائق تستخدم أكثر من غيرها.( متروك للقارىء ).

نظرية (1) :

ليكن لدينا $(X,\tau)$ و ليكن $A\subseteq X$ فيكون لدينا ما يلي :

أ‌) المجموعة $A$ مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كان $Bd(A)\cap A=\phi$ .

ب‌) المجموعة $A$ مجموعة مغلقة إذا و فقط إذا كان $Bd(A)\subseteq A$ .

ج) تكون المجموعة $A$ كلوبن إذا و فقط إذا كان $Bd(A)=\phi$ .

الإثبات (أ) :

الأتجاه الأول :
لنفرض بالتناقض أن $Bd(A)\cap A \ne \phi$ و بالتالي هنالك نقطة $x\in Bd (A)$ و $x\in A$ .
و بما أن $A$ مجموعة مفتوحة و $(X-A) \cap A=\phi$ و بالتالي النقطة $x$ غير موجودة في $Bd(A)$ و هذا تناقض .

الإتجاه الآخر :

بما أن $\overline A = Int(A)\cup Bd(A)$ بأخذ تقاطع $A$ من الجهتين ، ينتج لدينا :

$A = Int(A)\cap A$

و لا يمكن أن تتحقق إلا إن كانت $A=Int(A)$ أي أن $A$ مجموعة مفتوحة .

الإثبات (ب) :
يمكن السير بنفس خطوات الإثبات في (أ) ينتج لدينا التكافىء ( متروك للقارىء) .

الإثبات (ج) :

بما أن $\overliner A=Int(A)\cup Bd(A)$ ، فإن كانت $Bd(A)=\phi$ فإن الإتجاه العكسي ينتج مباشرة في التعويض في المساواة.

و كذلك الأمر بالنسبة للإتجاه الاول ينتج مباشرة بالتعويض بإستثمار $A=Int(A)=\overline A$ لأنها مجموعة كلوبن .

نظرية (2) :
في أي فضاء توبولوجي $(X,\tau)$ و لأي مجموعة $A\subseteq X$ ، فإن الجمل الآتية متكافئة :

1) المجموعة $A$ مجموعة كثيفة .

2) إذا كانت المجموعة $B$ مجموعة مغلقة و كانت $A\subseteq B$ فإن $B=\mathbb X$ .

3) لأي مجموعة مفتوحة $U\ne \phi$ لدينا $U\cap A\ne phi$ .

4) $Int(X-A)=\phi$ .

الإثبات :
يمكن السير بالإثبات بأي طريقة كانت و لكن لنسير بشكل دائري :
(1) إلى (2) :
بما أن $\overline A=X \subseteq \overline B$ ، فيجب $\overline B=X$ ، و لكن المجموعة $B$ مجموعة مغلقة أي $B=\overline B$ .
(2) إلى (3) :
ليكن لدينا مجموعة مفتوحة $U\ne \phi$ بحيث $U\cap A =\phi$ ، و بالتالي :
$X-U$ مجموعة مغلقة و لا تساوي $\phi$ و أيضاً $A\subseteq X-U$ ، و لكن من فرع (2) يجب أن يكون لدينا $X-U=X$ و هذا تناقض .
(3) إلى (4) :
ليكن لدينا $x\in Int(X-A)$ ، و بالتالي يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $U$ بحيث :