مجموعات اف-سيجما وجي-دلتا

G-delta and F-sigma sets

تعريف مجموعة جي-دلتا

في فضاء تبولوجي X المجموعة $G_\delta$ جي-دلتا G-delta عبارة عن تقاطع عدود لمجموعات مفتوحة. المجموعة $F_\sigma$ (اف-سيجما F-sigma) عبارة عن إتحاد عدود لمجموعات مغلقة.

إذا كانت مجموعة $G_\delta$ فإن مكملتها $F_\sigma$ والعكس صحيح. كلا من $F_\sigma$ , $G_\delta$ أنواع خاصة من [[مجموعات بورل]]. يمكن تعريف مجموعات من نوع $F_{\sigma \delta }$ وهي تقاطع عدود لمجموعات جميعها $F_\sigma$ . بنفس الكيفية نعرف أنواع أخرى منها

$F_{\sigma \delta \sigma } ,\;G_{\delta \sigma } ,\;G_{\delta \sigma \delta } ,\; \ldots$

بما أن جبرة بول مغلقة تحت عملية التقاطع العدود وعملية المكلمة (وبالتالي مغلقة تحت عملية الإتحاد العدود) فإن كل هذه الأنواع مجموعات بورل. العكس غير صحيح ليس كل مجموعة بورل من أحد هذه الأنواع.

بعض أمثلة على جي-دلتا و اف-سيجما

1) كل مجموعة مفتوحة على خط الأعداد الحقيقية هي $F_\sigma$ حيث $(a,b) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty{[a + \frac{1}{n},b - \frac{1}{n}]}$ وكل فترة مغلقة هي مجموعة $G_\delta$ حيث $[a,b] = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty{(a - \frac{1}{n},b + \frac{1}{n})}$ .

2) بما أن $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty{\mathbb{R}\backslash \{ q_n \} }$ حيث $\mathbb{Q} = (q_n )$ متتابعة الأعداد النسبية فإن مجموعة الأعداد الغير نسبية هي $G_\delta$ . وبالنتيجة فإن $\mathbb{Q}$ هي $F_\sigma$ .

3) مجموعة الأعداد النسبية $\mathbb{Q}$ ليست $G_\delta$ .

لإثبات هذا افرض $\mathbb{Q} = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {A_n }$ حيث $A_n$ مفتوحة لكل n. يمكن أن نكتب $\mathbb{Q} = \{ b_n :n \in N\}$ لأن مجموعة ألإعداد النسبية قابلة للعد (عدودة). لكل صحيح موجب n المجموعة المفتوحة $A_n \backslash \{ b_n \}$ كثيفة في $\mathbb{R}$ إذا من نظرية بير في الفئات Baire Category Theorem $\bigcap\limits_{n = 1}^\infty {\left( {A_n \backslash \{ b_n \} } \right)}$ كثيفة في R وهذا مستحيل لأن هذا التقاطع خال.

حقيقة: إذا كانت $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ دالة فإن المجموعة C المكونة من النقاط التي عندها الدالة f متصلة عبارة عن مجموعة $G_\delta$ . بمعنى آخر مجموعة نقاط عدم الاتصال هي مجموعة $F_\sigma$ .

البرهان: لأي عدد حقيقي y عرف

$A_n (y) = f^{ - 1} \{ (y - \frac{1}{n},y + \frac{1}{n})\}$

حيث n عدد صحيح موجب واجعل $O_n = \mathop \cup \limits_{y \in R} A_n^ \circ (y)$ حيث $A_n^ \circ$ داخلية $A_n$ . واضح أن $O_n$ مجموعة مفتوحة لكل n . ندعي أن

$C = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$

افرض x عنصر من C. هذا يعني أن f متصلة عند x إذا $A_n (y) = A_n^ \circ (y)$ لأنها الصورة العكسية لمجموعة مفتوحة حول $y = f(x)$ وبالتالي $x \in A_n^ \circ (y)$ لأي n. إذا $x \in O_n$ لكل صحيح موجب n ومنه $x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$ .

افرض أن $x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$ إذا $x \in O_n$ لكل n وبالتالي لكل n يوجد عدد حقيقي $y_n$ بحيث $x \in A_n^ \circ (y_n )$ أي أن لكل n يوجد $y_n$ بحيث $\left| {f(x) - y_n } \right| < \frac{1}{n}$ .

كذلك لكل n يوجد عدد موجب $\delta _n$ بحيث $B(x,\delta _n ) \subset A_n^ \circ (y_n )$ وذلك لأن $A_n^ \circ (y_n )$ مجموعة مفتوحة تحوي x. إذا

$\left| {x - t} \right| < \delta _n \to \left| {y_n - f(t)} \right| < \frac{1}{n}$

الآن لأي $\varepsilon > 0$ خذ m عدد طبيعي بحيث $\frac{2}{m} < \varepsilon$ . اعتمادا على ما بيناه سابقا $\left| {f(x) - y_m } \right| < \frac{1}{m}$ يوجد $\delta _m$ بحيث

$\left| {x - t} \right| < \delta _m \to \left| {y_m - t} \right| < \frac{1}{m}$

باستخدام المتباينة المثلثية

$\left| {f(x) - f(t)} \right| \le \left| {f(x) - y_m } \right| + \left| {y_m - f(t)} \right| < \frac{1}{m} + \frac{1}{m} < \varepsilon$

وبالتالي الدالة f متصلة عند x . إذا $C = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$ .

إضافات

حقيقة1: إذا كانت $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ دالة فإن المجموعة C التي متصلة عليها الدالة عبارة عن مجموعة $G_\delta$ . بمعنى آخر مجموعة نقاط عدم الاتصال هي مجموعة $F_\sigma$ .

البرهان: لتكن C مجموعة النقاط التي عندها الدالة f متصلة. لأي عدد حقيقي y عرف

$A_n (y) = f^{ - 1} \{ (y - \frac{1}{n},y + \frac{1}{n})\}$

حيث n عدد صحيح موجب. اجعل $O_n = \mathop \cup \limits_{y \in R} A_n^ \circ (y)$ حيث $A_n^ \circ$ داخلية $A_n$ . واضح أن $O_n$ مجموعة مفتوحة لكل n . ندعي أن

$C = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$

لإثبات هذا افرض أن f متصلة عند x إذا $A_n (y) = A_n^ \circ (y)$ لأنها الصورة العكسية لمجموعة مفتوحة حول $y = f(x)$ . وبالتالي $x \in A_n^ \circ (y)$ لأي n. إذا $x \in O_n$ لكل صحيح موجب n ومنه $x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$ .

من جهة أخرى إذا كان $x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$ فإن $x \in O_n$ لكل n. إذا لكل n يوجد عدد حقيقي $y_n$ بحيث $x \in A_n^ \circ (y_n )$ أي أن لكل n يوجد $y_n$ بحيث $\left| {f(x) - y_n } \right| < \frac{1}{n}$ .

وحيث $A_n^ \circ (y_n )$ مجموعة مفتوحة تحوي x فإنه لكل n يوجد عدد موجب $\delta _n$ بحيث $B(x,\delta _n ) \subset A_n^ \circ (y_n )$ إذا لكل n وجدنا $\delta _n$ بحيث

$\left| {x - t} \right| < \delta _n \to \left| {y_n - f(t)} \right| < \frac{1}{n}$

الآن لأي $\varepsilon > 0$ خذ m عدد طبيعي بحيث $\frac{2}{m} < \varepsilon$ . اعتمادا على ما بيناه سابقا $\left| {f(x) - y_m } \right| < \frac{1}{m}$ ويوجد $\delta _m$ بحيث

$\left| {x - t} \right| < \delta _m \to \left| {y_m - t} \right| < \frac{1}{m}$

باستخدام المتباينة المثلثية

$\left| {f(x) - f(t)} \right| \le \left| {f(x) - y_m } \right| + \left| {y_m - f(t)} \right| < \frac{1}{m} + \frac{1}{m} < \varepsilon$

وبالتالي الدالة f متصلة عند x . إذا $C = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {O_n }$ .

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

مجموعات اف-سيجما وجي-دلتا

G-delta and F-sigma sets

بعض أمثلة على جي-دلتا و اف-سيجما

إضافات

التعليقات

ألا توجد ترجمة أفضل من أف

بارك الله فيك أخي

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة