نظريات الاشتقاق العامة

General Differentiation Theorems

نبدأ قوانين الاشتقاق بهذه الحقيقة:

حقيقة 1: الدالة^[م] الثابتة $f(x) = a$ قابلة للاشتقاق على مجالها , حيث $f'(x) = 0$ لكل x من مجالها.

الإثبات

$\left( f \right)^\prime (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{a - a}}{{x - c}} = 0$

لدينا ثلاثة نظريات رئيسة نجملها في نظرية واحدة :

نظرية 1 : إذا كانت $J \to \mathbb{R}$ دالتين حقيقيتين معرفتين على الفترة J وكانت كلا من $f,g$ قابلتين للاشتقاق عند النقطة $c$ فإن:

1) الدالة^[م] $f + g$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ ويكون

$(f + g)'(c) = f'(c) + g'(c)$

2) الدالة^[م] $fg$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ ويكون

$(fg)'(c) = f'(c)g(c) + f(c)g'(c)$

3) الدالة^[م] $\frac{f}{g}$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ (حيث $g(c) \ne 0$ ) ويكون

$\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime(c) = \frac{{f'(c)g(c) - f(c)g'(c)}}{{(g(c))^2 }}$

هذه القواعد الثلاث تسمى على الترتيب , قانون الجمع , قانون الضرب , قانون القسمة في الاشتقاق.

الإثبات :

1) ضع $h = f + g$ إذا

$\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x) + g(x) - f(c) - g(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} + \frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}$

بأخذ نهاية الطرفين عندما تؤول x إلى c نحصل على

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{h(x) - h(x)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}$

أي أن $h'(c) = f'(c) + g'(c)$ وهذا يثبت أن مشتقة $h = f + g$ عند c يساوي مجموع المشتقتين.

2) ضع $h = fg$ . إذا

$\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)g(x) - f(c)g(c)}}{{x - c}}$

بإضافة وطرح $f(c)g(x)$ من البسط ينتج لنا

$\begin{array}{l}\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)g(x) - f(c)g(x) + f(c)g(x) - f(c)g(c)}}{{x - c}} \\= \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}g(x) + f(c)\frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}} \\\end{array}$

الآن نأخذ نهاية الطرفين عندما تؤول x إلى c مع مراعاة استخدام خصائص النهايات المتعلقة بتوزيع النهاية على الجمع والضرب ومراعاة أن $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g(x) = g(c)$ وذلك لأن g متصلة عند c .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{h(x) - h(x)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(c)\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}$

أي أن

$h'(c) = f'(c)g(c) + f(c)g'(c)$

3) ضع $h = \frac{f}{g}$ إذا

$\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)/g(x) - f(c)/g(c)}}{{x - c}}$

بإضافة وطرح $f(c)g(c)$ من البسط ينتج لنا

$\begin{array}{l}\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)g(c) - f(c)g(c) + f(c)g(c) - f(c)g(x)}}{{g(c)g(x)(x - c)}} \\= \frac{1}{{g(c)g(x)}}\left( {\frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}g(c) - f(c)\frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}} \right) \\\end{array}$

الآن نأخذ نهاية الطرفين عندما تؤول x إلى c مع مراعاة استخدام خصائص النهايات المتعلقة بتوزيع النهاية على الجمع والضرب والبسط والمقام ومراعاة أن $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g(x) = g(c)$ وذلك لأن g متصلة عند c .

$h'(c) = \frac{1}{{(g(c))^2 }}\left( {f'(c)g(c) - f(c)g'(c)} \right)$

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.