نظريات الاشتقاق العامة

General Differentiation Theorems

نبدأ قوانين الاشتقاق بهذه الحقيقة:

حقيقة 1: الدالة الثابتة $f(x) = a$ قابلة للاشتقاق على مجالها , حيث $f'(x) = 0$ لكل x من مجالها.

الإثبات

$\left( f \right)^\prime (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{a - a}}{{x - c}} = 0$

لدينا ثلاثة نظريات رئيسة نجملها في نظرية واحدة :

نظرية 1 : إذا كانت $f,g:J \to \mathbb{R}$ دالتين حقيقيتين معرفتين على الفترة J وكانت كلا من $f,g$ قابلتين للاشتقاق عند النقطة $c$ فإن:

1) الدالة $f + g$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ ويكون

$(f + g)'(c) = f'(c) + g'(c)$

2) الدالة $fg$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ ويكون

$(fg)'(c) = f'(c)g(c) + f(c)g'(c)$

3) الدالة $\frac{f}{g}$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ (حيث $g(c) \ne 0$ ) ويكون

$\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime(c) = \frac{{f'(c)g(c) - f(c)g'(c)}}{{(g(c))^2 }}$

هذه القواعد الثلاث تسمى على الترتيب , قانون الجمع , قانون الضرب , قانون القسمة في الاشتقاق.

الإثبات :

1) ضع $h = f + g$ إذا

$\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x) + g(x) - f(c) - g(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} + \frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}$

بأخذ نهاية الطرفين عندما تؤول x إلى c نحصل على

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{h(x) - h(x)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}$

أي أن $h'(c) = f'(c) + g'(c)$ وهذا يثبت أن مشتقة $h = f + g$ عند c يساوي مجموع المشتقتين.

2) ضع $h = fg$ . إذا

$\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)g(x) - f(c)g(c)}}{{x - c}}$

بإضافة وطرح $f(c)g(x)$ من البسط ينتج لنا

$\begin{array}{l}\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)g(x) - f(c)g(x) + f(c)g(x) - f(c)g(c)}}{{x - c}} \\= \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}g(x) + f(c)\frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}} \\\end{array}$

الآن نأخذ نهاية الطرفين عندما تؤول x إلى c مع مراعاة استخدام خصائص النهايات المتعلقة بتوزيع النهاية على الجمع والضرب ومراعاة أن $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g(x) = g(c)$ وذلك لأن g متصلة عند c .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{h(x) - h(x)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(c)\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}$

أي أن

$h'(c) = f'(c)g(c) + f(c)g'(c)$

3) ضع $h = \frac{f}{g}$ إذا

$\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)/g(x) - f(c)/g(c)}}{{x - c}}$

بإضافة وطرح $f(c)g(c)$ من البسط ينتج لنا

$\begin{array}{l}\frac{{h(x) - h(c)}}{{x - c}} = \frac{{f(x)g(c) - f(c)g(c) + f(c)g(c) - f(c)g(x)}}{{g(c)g(x)(x - c)}} \\= \frac{1}{{g(c)g(x)}}\left( {\frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}g(c) - f(c)\frac{{g(x) - g(c)}}{{x - c}}} \right) \\\end{array}$

الآن نأخذ نهاية الطرفين عندما تؤول x إلى c مع مراعاة استخدام خصائص النهايات المتعلقة بتوزيع النهاية على الجمع والضرب والبسط والمقام ومراعاة أن $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} g(x) = g(c)$ وذلك لأن g متصلة عند c .

$h'(c) = \frac{1}{{(g(c))^2 }}\left( {f'(c)g(c) - f(c)g'(c)} \right)$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

نظريات الاشتقاق العامة

General Differentiation Theorems

التعليقات

thanxxxxxx

روعه

جزاك الله خير

شكراااا الله يعطيك العافيه

je n'ai rien comprendre :s

الله يعطيك ألف عافية وجعله

je n'ai rien comprend

يسلمو

الله يبارك فيكم مشكورييين على

merci

dsl mais j'ai rien comris

كان احسن لو كان استاذ يشرح

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة