نتائج نظريات الاشتقاق العامة

General Differentiation Theorems Results

نتيجة 1: إذا كانت $h(x) = a\,f(x)$ دالة حقيقية معرفة على فترة J , حيث a مقدار ثابت , وكانت قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ فإن

$h'(c) = a\,f'(c)$

الإثبات : نتيجة مباشرة من قانون اشتقاق ضرب دالتين ومن أن اشتقاق الدالة الثابتة متلاشي عند أي نقطة c .

نتيجة 2: إذا كانت $h:J \to \mathbb{R}$ بحيث $h(x) = \frac{1}{{g(x)}}$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $c$ فإن

$h'(c) = \frac{{ - g'(c)}}{{[g(c)]^2 }}$

الإثبات: هذه نتيجة مباشرة من قانون اشتقاق قسمة دالتين ومن أن اشتقاق الدالة الثابتة متلاشي عند أي نقطة c .

النتيجة التالية عبارة عن تمديد لكل من قاعدة الضرب والجمع لتشمل أكثر من دالتين. الاستقراء الرياضي سيكون هو الأداة الاساسية لاثبات هذه النتيجة الآتية.

نتيجة 3: إذا كانت $f_1 ,f_2 , \cdots ,f_n$ , $n > 1$ دوال حقيقية القيمة ومعرفة على الفترة J وقابلة للاشتقاق عند x من J فإن مجموعها وحاصل ضربها قابل للاشتقاق عند نفس النقطة ويكون:

$(f_1 + f_2 + \cdots + f_n )'(x) = f_1 ^\prime (x) + f_2 ^\prime (x) + \cdots + f_n ^\prime (x)$

$\begin{array}{l}(f_1 f_2 \cdots f_n )'(x) = f_1 ^\prime (x)f_2 (x) \cdots f_n (x) + f_1 (x)f_2 ^\prime (x) \cdot f_n (x) \\ + \cdots + f_1 (x)f_2 (x) \cdots f_n ^\prime (x) \\ \end{array}$

كمثال على حالة الضرب (عندما يكون لدينا ثلاثة دوال) فإن

$(f_1 f_2 f_3 )'(x) = f_1 ^\prime (x)f_2 (x)f_3 (x) + f_1 (x)f_2 ^\prime (x)f_3 (x) + f_1 (x)f_2 (x)f_3 ^\prime (x)$

الإثبات : حالة الجمع 1) متروكة للقارئ . بالنسبة لحالة الضرب 2) فالنتيجة واضحة عندما $n = 2$ , حيث

$(f_1 f_2 )'(x) = f_1 ^\prime (x)f_2 (x) + f_1 (x)f_2 ^\prime (x)$

متحققة من قاعدة اشتقاق ضرب دالتين.

الآن افرض صحة النتيجة عند $n = k$ ولنثبت صحتها عن $n = k + 1$ كالتالي:

$\begin{array}{l}(f_1 f_2 \cdots f_n f_{n + 1} )'(x) = \left( {(f_1 f_2 \cdots f_n )f_{n + 1} } \right)^\prime (x) \\ = (f_1 f_2 \cdots f_n )'(x)f_{n + 1} (x) + (f_1 f_2 \cdots f_n )(x)f'_{n + 1} (x) \\ = f_1 ^\prime f_2 \cdots f_n f_{n + 1} (x) + f_1 f_2 ^\prime \cdots f_n f_{n + 1} (x) + \cdots + f_1 f_2 \cdots f_n f'_{n + 1} (x) \\ \end{array}$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

نتائج نظريات الاشتقاق العامة

General Differentiation Theorems Results

التعليقات

الله ينور حياتك وينعم عليك

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة