الشبكة موقع متخصص في عرض علوم الرياضيات في صفحات ثابتة تحتوي كل صفحة على وحدة معرفية معينة.

ترحب الشبكة بكل من يدعم هذا المشروع عن طريق كتابة مواضيع علمية رياضية رصينة

نظرية منصف الزاوية المعممة

Generalized Angle Bisector Theorem

وتنص هذه النظرية على ما يلي

نظرية 1: في المثلث ABC , إذا كان AD مستقيم يقابل الضلع BC في النقطة M فإن

$\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB\sin \alpha }}{{AC\sin \beta }}$

$مثلث$

اثبات هذه النظرية مباشر من خلال استخدام صيغتين مختلفتين في مساحة كلا من المثلثين ABM, ACM. فإذا رمزنا للمساحة بالرمز $\Delta$ مرفق به اسم المثلث فإن

$\frac{{(BM \cdot h)/2}}{{(MC \cdot h)/2}} = \frac{{\Delta _{ABM} }}{{\Delta _{ACM} }} = \frac{{(AB \cdot AM\sin \alpha )/2}}{{(AC \cdot AM\sin \beta )/2}}$

من هذا التناسب تثبت النظرية, حيث h هو الارتفاع المشترك للمثلثين النازل من A على الضلع BC.

كنتيجة مباشرة نحصل على النظرية التالية وهي حالة خاصة من النظرية أعلاه.

نظرية 2(نظرية منصف الزاوية): إذا كان AM منصف للزاوية A في مثلث ABC ويلتقي الضلع BC في M فإن

$\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$

وذلك لأن $\alpha = \beta$ .

مسائل

* استخدم قانون الجيب لتقديم برهان آخر لنظرية منصف الزاوية المعممة.

* من C حسب الرسم أعلاه ارسم مواز للمستقيم BC يلاقيه في G. بفرض $\alpha = \beta$ قدم من خلال تشابه المثلثات برهان مستقل لنظرية منصف الزاوية. إرشاد AC=AG