تعميم الضرب الديكارتي

Generalized Cartesian Product

الضرب الديكارتي $A \times B$ لمجموعتين $A,B$ يمكن تعميمه لأي عدد من المجموعات كما يلي.

تعريف تعميم الضرب الديكارتي

إذا كانت $X = \{ A_i :i \in I\}$ عائلة من المجموعات المفهرسة بمجموعة أدلة غير خالية I فإن الجداء أو الضرب الديكارتي للمجموعات $A_i$ يعرف كما يلي:

$\prod \limits_{i \in I} {A_i } = \{ f:I \to \bigcup \limits_{i \in I} {A_i } \;:f(i) \in A_i \;\; {\rm{ for all }}i \in I\}$

أي أنه مجموعة جميع الدوال f على I التي تحقق $f(i) \in A_i$ لكل $i \in I$ . نطلق على هذا الضرب أحينا مسمى الضرب اللانهائي infinite products أو الضرب الديكارتي المعمم generalized Cartesian product.

ملاحظات:

(1) إذا كانت $A_k = \emptyset$ لدليل معين k من I فإن $\prod \limits_{i \in I} {A_i } = \emptyset$ لأن في هذه الحالة لا يوجد دالة على I بحيث $f(k) \in A_K$ .

(2) أحينا يكون من المناسب كتابة الدالة $f \in \prod \limits_{i \in I} {A_i }$ بالشكل $\{ f_i \}$ حيث $f_i = f(i)$ لكل $i \in I$ . هذا الترميز مماثل لطريقتنا في كتابة متتابعة ما بالشكل $(x_n )$ ويجب عدم الخلط بينه وبين الترميز المستخدم في التعبير عن المجموعات.

حالات خاصة

(1) الضرب الديكارتي $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ ينتج من هذا التعريف الأعم كحالة خاصة وذلك عندما تكون I مجموعة منتهية $\{ 1,2, \ldots ,n\}$ حيث نطابق كل نوني مرتب $(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ مع الدالة $f(i) = a_i$ من $\prod \limits_{i \in I} {A_i }$ .

(2) إذا كانت I مجموعة الأعداد الطبيعية N وكانت $\cup A_i = A$ لكل عدد طبيعي i فإننا نكتب $\prod \limits_{i \in I} {A_i } = \prod \limits_{n = 1}^\infty {A_n }$ ويمثل الضرب الديكارتي في هذه الحالة جميع المتتابعات من المعرفة على $(x_n )$ حيث $x_n \in A_n$ .

(3) إذا كانت $A_i = A$ لكل دليل j في مجموعة الأدلة J فعادة ما نكتب $\prod \limits_{j \in J} {A_j }$ بالشكل $A^J$ وهي مجموعة جميع الدوال $f:J \to A$ .

بعض الخصائص في الضرب الديكارتي اللانهائي

(1) لأي $k \in I$ فإن الدالة

$\pi _k : \prod \limits_{i \in I} {A_i } \xrightarrow{{}} A_k$

المعرفة بالعلاقة $\pi _k (f) = f_k$ تسمى دالة الإسقاط projection map أو الدالة الإسقاطية لدليل k وهي كما يبين تعريفها ترسل كل دالة من الضرب اللانهائي إلى المركبة ذات الدليل k.

(2) إذا كانت $A_k \subset B_k$ لكل $k \in I$ فإن $\prod \limits_{i \in I} {A_i } \subset \prod \limits_{i \in I} {B_i }$ , إذا كانت $A_k = \emptyset$ لبعض $k \in I$ فالنتيجة واضحة حيث $\prod \limits_{i \in I} {A_i } = \emptyset$ في هذه الحالة. إذا كانت جميع $A_i$ غير خالية واضح أن كل دالة $f:I \to \cup A_i$ تعتبر دالة $f:I \to \cup B_i$ وهذا يكفي.