التوافيق المعممة

Generalized Combinations

ليكن لدينا تجمع مكون من n من الأشياء مقسمة إلى m قسما عدد عناصرها على الترتيب $k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m$ بحيث عناصر(أشياء) كل قسم متطابقة كما لا يوجد عنصر (شيء) في أحد الأقسام يطابق عنصر أو شيء في قسم آخر.

عناصر القسم الأول والتي عددها $k_1$ يمكن توزيعها على n موضعا(بحيث كل موضع لا يستقبل أكثر من عنصر واحد) بطرق عددها $\left( \begin{array}{l} n \\ k_1 \\ \end{array} \right)$ . بعد ذلك عناصر القسم الثاني التي عددها $k_2$ يمكن وضعها في المواضع المتبقية (بحيث كل موضع لا يستقبل أكثر من عنصر واحد) بطرق عددها $\left( \begin{array}{c} n - k_1 \\ k_2 \\ \end{array} \right)$ وهكذا حتى نصل إلى القسم الأخير الذي عدد عناصره $k_m$ فيكون أمامنا فقط مواضع شاغرة عددها

$n - k_1 - k_2 - \cdots - k_{m - 1} = k_m$

من مبدأ العد لدينا طرق عددها

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k_1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} n - k_1 \\ k_2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} n - k_1 - k_2 \\ k_3 \\ \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array}{c} n - k_1 - k_2 - \cdots - k_{m - 1} \\ k_m \\ \end{array} \right)$

لوضع تلك الأشياء في n موضعا وهذا المقدار يطلق عليه توفيق معمم.

يمكن النظر للتوفيق المعمم من زاوية^[م] أخرى, فإذا كان لدينا مجموعة بها n عنصرا مختلفا ونريد وضع هذه العناصر في m موضعا بحيث يستقبل الموضع رقم i عدد $k_i$ من العناصر حيث

$k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n$

في هذه الحالة فإن عدد $k_1$ من العناصر يمكن اختياره ووضعه في الموضع رقم 1 بطرق عددها $\left( \begin{array}{l} n \\ k_1 \\ \end{array} \right)$ . كذلك عدد $k_2$ من العناصر يمكن اختياره ووضعه في الموضع رقم 2 بطرق عددها $\left( \begin{array}{c} n - k_1 \\ k_2 \\ \end{array} \right)$ وهكذا وبالتالي فإن عدد الطرق الكلية هو بالضبط التوفيق المعمم.

العلاقة بين التبيدلة والتوفيق المعممتين
عندما نكمل الحسابات في التوفيق المعمم أعلاه فإننا نصل إلى أن

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k_1 !k_2 ! \ldots k_m !}} = P(n;k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m )$

لاحظ في حالة $k_1 + k_2 = n$ فإن

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k_1 !k_2 }} = \left( \begin{array}{c} n \\ k_1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k_2 \\ \end{array} \right)$

هذه العلاقة الرائعة بين التبيدلة المعممة والتوفيق المعمم تمكننا من تمديد تعريف التوفيق المعمم إلى أي أعداد طبيعية $k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m$ بحيث $k_1 + k_2 + \ldots + k_m \le n$ بوضع

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = P(n;k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m )$

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.