التوافيق المعممة

Generalized Combinations

ليكن لدينا تجمع مكون من n من الأشياء مقسمة إلى m قسما عدد عناصرها على الترتيب $k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m$ بحيث عناصر(أشياء) كل قسم متطابقة كما لا يوجد عنصر (شيء) في أحد الأقسام يطابق عنصر أو شيء في قسم آخر.

عناصر القسم الأول والتي عددها $k_1$ يمكن توزيعها على n موضعا(بحيث كل موضع لا يستقبل أكثر من عنصر واحد) بطرق عددها $\left( \begin{array}{l} n \\ k_1 \\ \end{array} \right)$ . بعد ذلك عناصر القسم الثاني التي عددها $k_2$ يمكن وضعها في المواضع المتبقية (بحيث كل موضع لا يستقبل أكثر من عنصر واحد) بطرق عددها $\left( \begin{array}{c} n - k_1 \\ k_2 \\ \end{array} \right)$ وهكذا حتى نصل إلى القسم الأخير الذي عدد عناصره $k_m$ فيكون أمامنا فقط مواضع شاغرة عددها

$n - k_1 - k_2 - \cdots - k_{m - 1} = k_m$

من مبدأ العد لدينا طرق عددها

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k_1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} n - k_1 \\ k_2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} n - k_1 - k_2 \\ k_3 \\ \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array}{c} n - k_1 - k_2 - \cdots - k_{m - 1} \\ k_m \\ \end{array} \right)$

لوضع تلك الأشياء في n موضعا وهذا المقدار يطلق عليه توفيق معمم.

يمكن النظر للتوفيق المعمم من زاوية أخرى, فإذا كان لدينا مجموعة بها n عنصرا مختلفا ونريد وضع هذه العناصر في m موضعا بحيث يستقبل الموضع رقم i عدد $k_i$ من العناصر حيث

$k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n$

في هذه الحالة فإن عدد $k_1$ من العناصر يمكن اختياره ووضعه في الموضع رقم 1 بطرق عددها $\left( \begin{array}{l} n \\ k_1 \\ \end{array} \right)$ . كذلك عدد $k_2$ من العناصر يمكن اختياره ووضعه في الموضع رقم 2 بطرق عددها $\left( \begin{array}{c} n - k_1 \\ k_2 \\ \end{array} \right)$ وهكذا وبالتالي فإن عدد الطرق الكلية هو بالضبط التوفيق المعمم.

العلاقة بين التبيدلة والتوفيق المعممتين
عندما نكمل الحسابات في التوفيق المعمم أعلاه فإننا نصل إلى أن

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k_1 !k_2 ! \ldots k_m !}} = P(n;k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m )$

لاحظ في حالة $k_1 + k_2 = n$ فإن

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k_1 !k_2 }} = \left( \begin{array}{c} n \\ k_1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k_2 \\ \end{array} \right)$

هذه العلاقة الرائعة بين التبيدلة المعممة والتوفيق المعمم تمكننا من تمديد تعريف التوفيق المعمم إلى أي أعداد طبيعية $k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m$ بحيث $k_1 + k_2 + \ldots + k_m \le n$ بوضع

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = P(n;k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m )$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

التوافيق المعممة

Generalized Combinations

التعليقات

جزاك ربي كل الخير على كل

شكرا

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة