قاعدة ليبنز (لايبنز) في التفاضل

Generalized Leibniz Rule

ليبنز عالم ألماني يعزي اليه والى نيوتن علم التفاضل والتكامل. البعض يطلق عليه أسم " لايبنتز" أو " ليبنتز " والصحيح هو لايبنز أو ليبنز. في كتب قديمه يكتب اسم ليبنز هكذا Leibntiz أما حاليا فيكتب Leibniz .

يدخل في قاعدة ليبنز المعممة ما يسمى التوافيق المعممة وتعرف بالصيغة التالية حيث $n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k$ أعداد صحيحة غير سالبة مجموعها n :

$\left( \begin{array}{c} n \\ n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{n_1 !n_2 ! \ldots n_k !}}$

الحالة الخاصة $k = 2$ سنحتاجها أثناء إثبات قاعدة ليبنز المعممة وهي تعطينا التوافيق المألوفة حيث:

$\left( \begin{array}{c} n \\ n_1 ,n_2 \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{n_1 !n_2 !}} = \frac{{n!}}{{n_1 !(n - n_1 )!}} = \left( \begin{array}{c} n \\ n_1 \\ \end{array} \right)$

قاعدة ليبنز المعممة:

إذا كانت $f_1 ,f_2 , \cdots ,f_k$ دوال حقيقية ولها مشتقة نونية عند x فإن

$\frac{{d^n }}{{dx^n }}\prod\limits_{i = 1}^k {f_i (x)} = \sum\limits_{n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k \\ \end{array} \right)} \;f_1^{(n_1 )} (x)f_2^{(n_2 )} (x) \cdots f_r^{(n_k )} (x)$

في هذه القاعدة وكما هو معلوم دائما , الحالة التي فيها $n_i = 0$ لبعض i يقصد بها الدالة الأصلية , أي أن $f_i^{(0)} = f_i$ . في الطرف الأيمن من القاعدة فضلنا التعبير $f_i^{(n_i )} (x)$ بدلا من رمز ليبنز $\frac{{d^{n_i } }}{{dx^{n_i } }}f_i (x)$ من أجل ابراز التناظر بين رتب المشتقات والتباديل الداخلة في القانون. أيضا لم نستخدم $\prod\limits_{i = 1}^k {f_i^{(n_i )} (x)}$ للدلالة على حاصل الضرب , لكن في الإثبات سنحتاج لهذا التعبير المختصر .

الاثبات :

يتم بمبدأ الاستقراء الرياضي العام . حيث سيكون النقاش عند مشتقة نونية معينة. أي أن الاستقراء سيكون على عدد الدوال k وليس على رتبة المشتقة n .

1) خطوة الأساس: القانون صحيح عندما $k = 1$ حيث

$\frac{{d^n }}{{dx^n }}\prod\limits_{i = 1}^1 {f_i (x)} = \sum\limits_{n_i = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ n_i \\ \end{array} \right)} \;f_1^{(n_i )} = \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array} \right)\frac{{d^n }}{{dx^n }}f_1 = \frac{{d^n }}{{dx^n }}f$

2) خطوة الفرض : نفرض أن القاعدة صحيحة عند كل عدد $r = 1,2, \cdots ,k$ من الدوال . أي أن

$\frac{{d^n }}{{dx^n }}\prod\limits_{i = 1}^r {f_i (x)} = \sum\limits_{n_1 + n_2 + \ldots + n_r = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ n_1 ,n_2 , \ldots ,n_r \\ \end{array} \right)} \;\prod\limits_{i = 1}^r {\frac{{d^{n_i } }}{{dx^{n_i } }}f_i (x)}$

3) خطوة الاستنتاج :

$\frac{{d^n }}{{dx^n }}\prod\limits_{i = 1}^{k + 1} {f_i (x)} = \frac{{d^n }}{{dx^n }}\left( {f_{k + 1} (x)\prod\limits_{i = 1}^k {f_i (x)} } \right) = \frac{{d^n }}{{dx^n }}\left( {f_{k + 1} (x)g(x)} \right)$

حيث $g(x) = \prod\limits_{i = 1}^k {f_i (x)}$ . الآن ننجز الطرف الأيمن على اعتبار أن لدينا ضرب لدالتين فقط ونطبق عليهما خطوة الفرض. إذا

$= \sum\limits_{n_1 + n_2 = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ n_1 ,n_2 \\ \end{array} \right)} \;f_{k + 1}^{(n_1 )} (x)g^{(n_2 )} (x) = \sum\limits_{n_{k + 1} = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ n_{k + 1} \\ \end{array} \right)} \;f_{k + 1}^{(n_{k + 1} )} (x)g^{(n - n_{k + 1} )} (x)$

كل اشتقاق للدالة g في هذا المجموع رتبته اقل من $k + 1$ وبالتالي نستطيع التعبير عنه بصيغة خطوة الفرض.

$\begin{array}{l} = \sum\limits_{n_{k + 1} = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ n_{k + 1} \\ \end{array} \right)} \;f_{k + 1}^{(n_{k + 1} )} (x)\sum\limits_{n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n - n_{k + 1} } {\left( \begin{array}{c} n - n_{k + 1} \\ n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k \\ \end{array} \right)} \;\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{d^{n_i } }}{{dx^{n_i } }}f_i (x)} \\ = \sum\limits_{n_{k + 1} = 0}^n {\sum\limits_{n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n - n_{k + 1} } {\left( \begin{array}{c} n \\ n_{k + 1} \\ \end{array} \right)} } \;\left( \begin{array}{c} n - n_{k + 1} \\ n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k \\ \end{array} \right)\;f_{k + 1}^{(n_{k + 1} )} (x)\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{d^{n_i } }}{{dx^{n_i } }}f_i (x)} \\ = \sum\limits_{n_1 + n_2 + \ldots + n_k + n_{k + 1} = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ n_{k + 1} \\ \end{array} \right)} \;\left( \begin{array}{c} n \\ n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k ,n_{k + 1} \\ \end{array} \right)\;\prod\limits_{i = 1}^{k + 1} {\frac{{d^{n_i } }}{{dx^{n_i } }}f_i (x)} \\ \end{array}$

إذا القاعدة صحيحة لكل عدد طبيعي k . بما أن n كانت اختيارية فإن القانون صحيح لأي مشتقة نونية ولأي عدد منتهي من الدوال.

قاعدة ليبنز في المشتقات العليا:

كحالة خاصة من القاعدة المعممة لليبنز نستنتج الآن قاعدة ليبنز للمشتقة العليا لحاصل ضرب دالتين. ضع $f_1 = f,\;\;f_2 = g$ إذا من قاعدة ليبنز المعممة:

$(fg)^{(n)} (x) = \sum\limits_{k + m = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ k,m \\ \end{array} \right)} \;f^{(k)} (x)g^{(m)} (x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)} \;f^{(k)} (x)g^{(n - k)} (x)$

مسائل

1. بين أن $\frac{d}{{dx}}(uvw) = \frac{{du}}{{dx}}vw + u\frac{{dv}}{{dx}}w + uv\frac{{dv}}{{dx}}$

2. بصورة أعم إذا كانت $f_1 ,f_2 , \cdots ,f_k$ قابلة للاشتقاق على الفترة I فأثبت أن :

$\frac{d}{{dx}}\prod\limits_{i = 1}^k {f_i (x)} = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{\frac{d}{{dx}}f_i (x)}}{{f_i (x)}}} } \right)\prod\limits_{i = 1}^k {f_i (x)}$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

قاعدة ليبنز (لايبنز) في التفاضل

Generalized Leibniz Rule

التعليقات

مافهمت شي

أنا كمان ما فهمت شيء

انا فهمت و الاثبات ان التفاضل

احااااااااااااااااااااااااااا

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة