التبديلة المعممة

Generalized Permutation

التبديلة المعممة هي سلسلة مرتبة من الأشياء التي ليس بالضرورة أن تكون مختلفة. على سبيلا المثال كل كلمة مكونة من الحرف A وحرفين B وثلاثة حروف C يمكن النظر إليها كتبديلة معممة من A,B,B,C,C,C الحروف . لنعتبر السؤال التالي كمدخل لمفهوم التبديلة المعممة.

ما هو عدد الكلمات التي تتكون من الحروف A,B,B,C,C,C ؟

نجيب عن هذا السؤال من خلال معرفتنا المسبقة عن التباديل ولكن في البداية نعبر عن هذه الحروف بطريقة تظهرها كما لو كانت مختلفة , لذلك الحرفين B,B سنفرق بينهما بواسطة دليل سفلي, فنكتب B_1 ,\;B_2 والحروف C,C,C نكتبهما C_1 ,\;C_2 ,\;C_3 .

التبديلة المعممة ABCCCB مثلا ينشأ عنها 1!2!3! تبديلة عادية وذلك وفق مبدأ العد, ونقصد بالتبديلة الناشئة تلك التي لو حذفنا الدليل السفلي subscript من الحروف المكونة لها لحصلنا على التبديلة المعممة ABCCCB مثل AB_1 C_1 C_3 C_2 B_2 .

هذا الحساب ليس خاصا بتبديلة معممة دون أخرى, بمعنى أن كل تبديلة معممة من الحروف

A,B,B,C,C,C

ينشأ منها أو عنها 1!2!3! تبديلة عادية.

وعليه فإنه إذا كان P يرمز لعدد التبديلات المعممة فإن P \times 1!2!3! يساوي عدد التبديلات الممكنة من المجموعة

\{ A,B_1 ,B_2 ,C_1 ,C_2 ,C_3 \}

إذا

P \times (1! * 2! * 3!) = 6!

P = \frac{{6!}}{{1! \cdot 2! \cdot 3!}}

هذه المحاورة تستطيع تعميمها إلى لأي n من الأشياء

تعريف (التبديلة المعممة): إذا كان لدينا n من الأشياء مقسمة إلى k قسم عدد عناصرها على الترتيب n_1 ,n_2 , \ldots ,n_k بحيث عناصر(أشياء) كل قسم متطابقة كما لا يوجد عنصر (شيء) في أحد الأقسام يطابق عنصر أو شيء في قسم آخر فإن أي ترتيب لهذه الأشياء ذات العدد n في سلسلة يسمى تبديلة المعممة.

على نفس المنوال في حوارنا السابق , فيما لو أرفقنا بعناصر كل قسم من الأشياء دليل سفلي للتفريق بينها فإن كل تبديلة معممة من هذه الأشياء سينشأ عنها عددا من التبديلات العادية قدره

(n_1 !)(n_2 !)(n_3 !) \ldots (n_k !)

إذا رمزنا لعدد التباديل المعممة بالرمز P(n\;;n_1 ,n_2 ,n_3 , \ldots ,n_k ) (لاحظ موضع الفاصلة المنقوطة) فإن

n_1 !n_2 !n_3 ! \ldots n_k !P(n\;;n_1 ,n_2 ,n_3 , \ldots ,n_k ) = n!


إذا عدد التباديل المعممة من n شيء مقسمة إلى k قسما في كل قسم i عددn_i من الأشياء المتطابقة يعطى بالقانون

P(n\;;n_1 ,n_2 ,n_3 , \ldots ,n_k ) = \frac{{n!}}{{n_1 !n_2 !n_3 ! \ldots n_k !}}


بطبيعة الحال n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n.

تمديد تعريف التبديلة المعممة : نستطيع تمديد تعريف التيديلة المعممة إلى أي أعداد طبيعية n_1 ,n_2 , \ldots ,n_m ليس بالضرورة مجموعها n. فإذا كانت n_1 + n_2 + \cdots + n_m = r \le n فإننا نكتب

P(n\;;n_1 ,n_2 ,n_3 , \ldots ,n_m ) = \frac{{P(n,r)}}{{n_1 !n_2 !n_3 ! \ldots n_m !}}


واضح أن هذا التعريف يؤول إلى التعريف السابق عندما تكون r = n.

خصائص التبديلة المعممة

P(n\;;n_1 ,n_2 ,n_3 , \ldots ,n_m ) = P(n\;;n_1 ,n_2 ,n_3 , \ldots ,n_m ,(n - r))


مثلا P(15\;;6,4) = P(15\;;6,4,5)وذلك لأن

\frac{{P(n,r)}}{{n_1 !n_2 !n_3 ! \ldots n_m !}} = \frac{{n!}}{{n_1 !n_2 !n_3 ! \ldots n_m !(n - r)!}}


كحالة خاصة

P(n;r) = P(n;r,n - r) = P(n;n - r)


ترتبط التبديلة بالتبديلة المعممة بالعلاقة

P(n;r) = \frac{1}{{r!}}P(n,r) = C(n,r)

في المثال التالي نبين إحدى تطبيقات التبديلات المعممة ويتضح لنا تفسير عملي للخاصية الأولى.

مثال 1:
(أ) بكم طريقة نستطيع وضع 6 كرات حمراء و4 زرقاء و 3 بيضاء في 13 صندوقا متجاورا بحيث يحوي كل صندوق على كرة واحدة.

(ب) وبكم طريقة يمكن وضع 6 كرات حمراء و4 زرقاء في 13 صندوقا متجاورة بحيث يحوي كل صندوق على كرة واحدة.
الحل: (أ)

P(13\;;6,4,3) = \frac{{13!}}{{6! * 4! * 3!}} = 13 * 12 * 7

(ب)

P(13\;;6,4) = \frac{{P(13,10)}}{{6! * 4!}} = \frac{{13!}}{{6! * 4! * 3!}} = 13 * 12 * 7


نفس عدد الطرق!! هل يمكن تفسير ذلك ؟
بالطبع, فالتناظر واضح بين عدد طرق (أ) وعدد طرق (ب). فكل وضع للكرات الحمراء والزرقاء والبيضاء في (أ) ينتج عنه وضع للكرات ذات اللونين الأحمر والأزرق في (ب) وذلك باستبعاد الكرات البيضاء ليس إلا. والعكس صحيح فكل وضع في (ب) للكرات في الصناديق الثلاثة عشر ينتج منه وضعا في (أ) بمجرد إضافة الكرات البيضاء في الصناديق الفارغة.