القاسم المشترك الأكبر ق.م.أ في الحلقات

The Greatest Common Divisor (gcd) in Rings

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
مراجع

تعريف

لتكن R حلقة^[م] إبدالية. نقول أن [tex]d \in R[/tex] قاسم مشترك أكبر greatest common divisor أو قاسم مشترك أعلى للعناصر[tex]a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R[/tex] إذا كان

1. [tex]d|a_i [/tex] لكل [tex]1 \le i \le n[/tex].

2. إذا كان [tex]c \in R[/tex] بحيث [tex]c|a_i [/tex] لكل [tex]1 \le i \le n[/tex] فإن [tex]c|d[/tex].

وفي هذه الحالة نكتب [tex]d = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex].

القاسم المشترك الأكبر قد لا يكون موجود دائما. على سبيل المثال في حلقة الأعداد الصحيحة الزوجية [tex]2\mathbb{Z}[/tex] (والتي ليس لها محايد) لا يوجد قاسم للعدد [tex]2[/tex] وعليه فليس هناك قاسم مشترك أكبر للعددين [tex]2,4[/tex] مثلا. من جهة أخرى قد يكون هناك أكثر من قاسم مشترك أكبر لعدد معين^[م] من العناصر, في هذه الحالة إذا كان كلا من [tex]d_1 ,d_2 [/tex] قاسم مشترك أكبر فإنهما متشاركان وذلك وفق الشرط الثاني من التعريف. أيضا إذا كان d قاسم مشترك أكبر لعدد من العناصر في حلقة R فإن كل عنصر متشارك معه هو قاسم مشترك أكبر لهذه العناصر. عموما هناك أنواع من الحلقات يتحقق فيها وحدانية القاسم المشترك الأكبر.

مبرهنة1: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد فإن للعناصر [tex]a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R[/tex] قاسم مشترك أكبر على الشكل [tex]d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i } [/tex] و[tex]r_i \in R[/tex] إذا وإذا فقط كان [tex](d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex].

مختصر البرهان: افرض أن d قاسم مشترك للعناصر [tex]a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R[/tex] وأن هناك [tex]r_i \in R[/tex] بحيث

[tex]d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i } [/tex]

إذا [tex]d \in (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex] ومنه [tex](d) \subset (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex]. من جهة أخرى [tex]a_i \in (d)[/tex] لأن [tex]d|a_i [/tex] لكل [tex]1 \le i \le n[/tex]. إذا [tex](d) \supset (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex] حسب تعريف المثالية المولدة بمجموعة من العناصر.

عكسيا إذا كان [tex](d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex] فإن [tex]a_i \in (d)[/tex] لكل [tex]1 \le i \le n[/tex] وبالتالي [tex]d|a_i [/tex] لكل [tex]1 \le i \le n[/tex]. إذا كان [tex]c \in R[/tex] بحيث [tex]c|a_i [/tex] لكل [tex]1 \le i \le n[/tex] فإن [tex]a_i \in (c)[/tex] وبالتالي

[tex](d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ) \subset (c)[/tex]

حسب تعريف المثالية المولدة بمجموعة من العناصر. من [tex](d) \subset (c)[/tex] ينتج أن [tex]c|d[/tex] وهذا يثبت أن d قاسم مشترك أكبر للعناصر [tex]a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n [/tex].

نتيجة2: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية فإنه يوجد قاسم مشترك أكبر لأي عناصر [tex]a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R[/tex] وكل قاسم مشترك أكبر لهذه العناصر يكون على الشكل [tex]d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i } [/tex] حيث [tex]r_i \in R[/tex].

البرهان: المثالية [tex](a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex] رئيسية في R إذا يوجد [tex]d \in R[/tex] بحيث [tex](d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )[/tex] إذا d هو قاسم مشترك أكبر وله الصورة [tex]d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i } [/tex] حسب المبرهنة السابقة.

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية^[م] الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
John R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, John Wiley & Sons.

http://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.