القاسم المشترك الأكبر ق.م.أ في الحلقات

The Greatest Common Divisor (gcd) in Rings

تعريف

لتكن R حلقة إبدالية. نقول أن $d \in R$ قاسم مشترك أكبر greatest common divisor أو قاسم مشترك أعلى للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ إذا كان

1. $d|a_i$ لكل $1 \le i \le n$ .

2. إذا كان $c \in R$ بحيث $c|a_i$ لكل $1 \le i \le n$ فإن $c|d$ .

وفي هذه الحالة نكتب $d = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ .

القاسم المشترك الأكبر قد لا يكون موجود دائما. على سبيل المثال في حلقة الأعداد الصحيحة الزوجية $2\mathbb{Z}$ (والتي ليس لها محايد) لا يوجد قاسم للعدد $2$ وعليه فليس هناك قاسم مشترك أكبر للعددين $2,4$ مثلا. من جهة أخرى قد يكون هناك أكثر من قاسم مشترك أكبر لعدد معين من العناصر, في هذه الحالة إذا كان كلا من $d_1 ,d_2$ قاسم مشترك أكبر فإنهما متشاركان وذلك وفق الشرط الثاني من التعريف. أيضا إذا كان d قاسم مشترك أكبر لعدد من العناصر في حلقة R فإن كل عنصر متشارك معه هو قاسم مشترك أكبر لهذه العناصر. عموما هناك أنواع من الحلقات يتحقق فيها وحدانية القاسم المشترك الأكبر.

مبرهنة1: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد فإن للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ قاسم مشترك أكبر على الشكل $d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i }$ و $r_i \in R$ إذا وإذا فقط كان $(d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ .

مختصر البرهان: افرض أن d قاسم مشترك للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ وأن هناك $r_i \in R$ بحيث

$d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i }$

إذا $d \in (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ ومنه $(d) \subset (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ . من جهة أخرى $a_i \in (d)$ لأن $d|a_i$ لكل $1 \le i \le n$ . إذا $(d) \supset (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ حسب تعريف المثالية المولدة بمجموعة من العناصر.

عكسيا إذا كان $(d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ فإن $a_i \in (d)$ لكل $1 \le i \le n$ وبالتالي $d|a_i$ لكل $1 \le i \le n$ . إذا كان $c \in R$ بحيث $c|a_i$ لكل $1 \le i \le n$ فإن $a_i \in (c)$ وبالتالي

$(d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ) \subset (c)$

حسب تعريف المثالية المولدة بمجموعة من العناصر. من $(d) \subset (c)$ ينتج أن $c|d$ وهذا يثبت أن d قاسم مشترك أكبر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ .

نتيجة2: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية فإنه يوجد قاسم مشترك أكبر لأي عناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ وكل قاسم مشترك أكبر لهذه العناصر يكون على الشكل $d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i }$ حيث $r_i \in R$ .

البرهان: المثالية $(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ رئيسية في R إذا يوجد $d \in R$ بحيث $(d) = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$ إذا d هو قاسم مشترك أكبر وله الصورة $d = \sum\limits_{i = 1}^n {r_i a_i }$ حسب المبرهنة السابقة.

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
John R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, John Wiley & Sons.

http://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

القاسم المشترك الأكبر ق.م.أ في الحلقات

The Greatest Common Divisor (gcd) in Rings

تعريف

مراجع

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة