الأعداد التوافقية (أعداد أور)

 

 

Harmonic Numbers (Ore Numbers)

تعريف العدد التوافقي

العدد التوافقي أو عدد أور harmonic number أو harmonic divisor number عبارة عن عدد صحيح موجب n بحيث يكون الوسط التوافقي H_n لقواسمه عدد صحيح. فإذا كانت d_1 ,d_2 , \ldots ,d_k قواسم n فإن

H_n = \frac{k}{{\frac{1}{{d_1 }} + \frac{1}{{d_2 }} + \ldots + \frac{1}{{d_k }}}}\quad (1)


عدد صحيح. نستطيع تبسيط العلاقة (1) بضرب بسطها ومقامها في العدد n ليتحول المقام إلى مجموع قواسم n الموجبة وبذلك نحصل على الصورة مبسطة للعلاقة (1) وهي

H_n = \frac{{n\tau (n)}}{{\sigma (n)}}\quad (2)


حيث \tau (n) عدد قواسم n الموجبة و \sigma (n) مجموعها. العدد 1 هو أول عدد توافقي. العدد 6 أيضا توافقي ويأتي ثانيا في متتابعة الأعداد التوافقية حيث

H_6 = \frac{{6\tau (6)}}{{\sigma (6)}} = \frac{{6(4)}}{{1 + 2 + 3 + 6}} = 2

 

لاحظ أن \frac{{\sigma (n)}}{{\tau (n)}} هو الوسط الحسابي A_n للقواسم الموجبة للعدد n لذلك نستنتج أن العدد n توافقي إذا وإذا فقط كان يساوي حاصل ضرب الوسط الحسابي لقواسمه في الوسط التوافقي لها, أي أن

 

العدد n توافقي إذا وإذا فقط A_n H_n = n

 

متتابعة الأعداد التوافقية هي (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001599)

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664,...

 

الآن نثبت نظرية أور Ore في إثبات أن كل عدد تام هو عدد توافقي. العكس غير صحيح فالعدد 140 عدد توافقي غير تام.

 

مبرهنة1(Ore): إذا كان N عدد تام فإنه توافقي.

البرهان: العدد التام n مجموع قواسمه 2n لذلك

H_n = \frac{{n\tau (n)}}{{\sigma (n)}} = \frac{{n\tau (n)}}{{2n}} = \frac{{\tau (n)}}{2}


لذلك يكفي إثبات أن \tau (n) عدد زوجي. نعلم أن \tau (n) فردي إذا وإذا فقط كان n مربع كامل. إذا كان n زوجي تام ينتج من نظرية اقليدس-اويلر في الأعداد التامة مباشرة أن n ليس مربع كامل. وإذا كان n تام فردي (فيما لو وجد عدد من هذا النوع) فإن له عامل من الشكل p^\alpha حيث p \equiv \alpha \equiv 1(\bmod 4) وبالتالي n ليس مربع كامل. إذا في كلا الحالتين \tau (n) عدد زوجي.

 

 

 

حدس أور في الأعداد التوافقية

مسألة الأعداد الفردية التوافقية مشابه لمسألة الأعداد الفردية التامة. فلا يعرف ما إذا كان هناك عدد توافقي فردي غير العدد 1. حدس أور Ore conjecture في الأعداد التوافقية ينص على أن" العدد 1 هو الوحيد الفردي التوافقي.

 

مراجع

http://mathworld.wolfram.com/HarmonicDivisorNumber.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_divisor_number
http://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00819-3/S0025-5718-97-00819-3.pdf

 

 

التعليقات

اتنمى لو كل قاعدة أو

قدم بواسطة Anonymous في أحد, 01/24/2010 - 05:00

اتنمى لو كل قاعدة أو نظرية يكون لها عدة أمثلية وليس مجرد قواعد ونظريات بدون أمثلة لكي لا ينطبق المثل القائل كأنك يا بوزيد ما غزيت !!!! لأن بالمثال يتضح المقال إلا إذا كان الموضوع مجرد نقل من كتب

بدون التقليل أو الإساءة إلى أعضاء ومشرفي والقائمين على الموقع الممتاز
ولكم تحياتي

راااااائع جدا لطالما تساءلت

قدم بواسطة Anonymous في أحد, 03/13/2011 - 18:25

راااااائع جدا لطالما تساءلت عن معنى الأعداد التوافقية..
خاصة وأن مناهجنا الدراسية للمرحلة الثانوية لم تطلعنا على ذلك...
كلما بحثت أكثر في الرياضيات زاد اقتناعي بالتقديم لهذا القسم....
أشكركم جزيييييييييييييييل الشكر على هذا الموقع المتميز... :)

thank you vrey much

قدم بواسطة Anonymous في سبت, 04/09/2011 - 21:09

thank you vrey much

علِّق

  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق