الأعداد التوافقية (أعداد أور)

Harmonic Numbers (Ore Numbers)

تعريف العدد التوافقي

العدد التوافقي أو عدد أور harmonic number أو harmonic divisor number عبارة عن عدد صحيح موجب n بحيث يكون الوسط التوافقي $H_n$ لقواسمه عدد صحيح. فإذا كانت $d_1 ,d_2 , \ldots ,d_k$ قواسم n فإن

$H_n = \frac{k}{{\frac{1}{{d_1 }} + \frac{1}{{d_2 }} + \ldots + \frac{1}{{d_k }}}}\quad (1)$

عدد صحيح. نستطيع تبسيط العلاقة $(1)$ بضرب بسطها ومقامها في العدد n ليتحول المقام إلى مجموع قواسم n الموجبة وبذلك نحصل على الصورة مبسطة للعلاقة $(1)$ وهي

$H_n = \frac{{n\tau (n)}}{{\sigma (n)}}\quad (2)$

حيث $\tau (n)$ عدد قواسم n الموجبة و $\sigma (n)$ مجموعها. العدد 1 هو أول عدد توافقي. العدد 6 أيضا توافقي ويأتي ثانيا في متتابعة الأعداد التوافقية حيث

$H_6 = \frac{{6\tau (6)}}{{\sigma (6)}} = \frac{{6(4)}}{{1 + 2 + 3 + 6}} = 2$

لاحظ أن $\frac{{\sigma (n)}}{{\tau (n)}}$ هو الوسط الحسابي $A_n$ للقواسم الموجبة للعدد n لذلك نستنتج أن العدد n توافقي إذا وإذا فقط كان يساوي حاصل ضرب الوسط الحسابي لقواسمه في الوسط التوافقي لها, أي أن

العدد n توافقي إذا وإذا فقط $A_n H_n = n$

متتابعة الأعداد التوافقية هي (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001599)

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664,...

الآن نثبت نظرية^[م] أور Ore في إثبات أن كل عدد تام هو عدد توافقي. العكس غير صحيح فالعدد 140 عدد توافقي غير تام.

مبرهنة1(Ore): إذا كان N عدد تام فإنه توافقي.

البرهان: العدد التام n مجموع قواسمه 2n لذلك

$H_n = \frac{{n\tau (n)}}{{\sigma (n)}} = \frac{{n\tau (n)}}{{2n}} = \frac{{\tau (n)}}{2}$

لذلك يكفي إثبات أن $\tau (n)$ عدد زوجي. نعلم أن $\tau (n)$ فردي إذا وإذا فقط كان n مربع^[م] كامل. إذا كان n زوجي تام ينتج من نظرية اقليدس-اويلر في الأعداد التامة مباشرة أن n ليس مربع كامل. وإذا كان n تام فردي (فيما لو وجد عدد من هذا النوع) فإن له عامل من الشكل $p^\alpha$ حيث $p \equiv \alpha \equiv 1(\bmod 4)$ وبالتالي n ليس مربع كامل. إذا في كلا الحالتين $\tau (n)$ عدد زوجي.

حدس أور في الأعداد التوافقية

مسألة الأعداد الفردية التوافقية مشابه لمسألة الأعداد الفردية التامة. فلا يعرف ما إذا كان هناك عدد توافقي فردي غير العدد 1. حدس أور Ore conjecture في الأعداد التوافقية ينص على أن" العدد 1 هو الوحيد الفردي التوافقي.

مراجع

http://mathworld.wolfram.com/HarmonicDivisorNumber.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_divisor_number
http://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00819-3/S0025-5718-97-...

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

اتنمى لو كل قاعدة أو

قدم بواسطة Anonymous في أحد, 01/24/2010 - 05:00

اتنمى لو كل قاعدة أو نظرية^[م] يكون لها عدة أمثلية وليس مجرد قواعد ونظريات بدون أمثلة لكي لا ينطبق المثل القائل كأنك يا بوزيد ما غزيت !!!! لأن بالمثال يتضح المقال إلا إذا كان الموضوع مجرد نقل من كتب بدون التقليل أو الإساءة إلى أعضاء ومشرفي والقائمين على الموقع الممتاز ولكم تحياتي

رد

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.