صيغة هيرون (هيرو) في مساحة المثلث

Heron's (Hero) Formula

هيرون وأحيانا يدعى هيرو عاش في مدينة الإسكندرية في ما قبل الميلاد , وتنسب إليه صيغة هيرون المخصصة لإيجاد مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه, وهناك اعتقاد بأن هذه الصيغة معروفة من قبل هيرون وقد نسبت اليه لوجودها مثبتة في أحد أجزاء مصنفه المسمى متريكا metrica الذي ضمنه العديد من المعارف الهندسية سواء في الهندسة المستوية أو المجسمات أوالمساحات وغيرها.

إذا كان ABC مثلث أطواله a,b,c وكانت s تمثل نصف المحيط semiperimeter , أي

$s = \frac{{a + b + c}}{2}$

فإن المساحة Area للمثلث تعطى بالقانون التالي والمسمى صيغة هيرون

$area = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

الإثبات : (الطريقة الجبرية) من قانون جيب التمام وعلى أي زاوية ولتكن C,

$\cos C = \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

جيب الزاوية C موجبا لأنها أقل من 180 درجة . إذا

$\sin C = \sqrt {1 - \cos ^2 C} = \frac{1}{{2ab}}\sqrt {4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2 )^2 }$

مساحة المثلث تعادل نصف طول القاعدة BC في الارتفاع h النازل عليها. كما هو واضح من الرسم $h = b\sin C$ , إذا

$Area = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {2ab - (a^2 + b^2 - c^2 )} \right)\left( {2ab + (a^2 + b^2 - c^2 )} \right)}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {c^2 - (a^2 - 2ab + b^2 )} \right)\left( {a^2 + 2ab + b^2 - c^2 } \right)} \\ = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {c^2 - (a - b)^2 } \right)\left( {(a + b)^2 - c^2 } \right)} \\ = \sqrt {\left( {\frac{{c - (a - b)}}{2}} \right)\left( {\frac{{c + (a - b}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + b) - c}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2}} \right)} \\ \end{array}$

ولكن وعلى سبيل المثال

$\frac{{c - (a - b)}}{2} = \frac{{c + b - a}}{2} = \frac{{c + b + a}}{2} - a = s - a$

وبطريقة مماثلة نبسط بقية العوامل داخل الجذرونرتبها لينتج لنا

$Area = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

وبذلك تثبت صيغة هيرون.

الإثبات الهندسي لصيغة هيرون مطول نوعا ولكن افكاره أولية وبسيطة , نلخصها في السطور التالية. ليكن r مركز الدائرة الداخلية في المثلث ABC و s نصف محيط المثلث . نعلم أن مساحة المثلث هي

$Area = sr\quad \quad (1)$

$صيغة هيرو Heron$

بما أن أي مماسين لدائرة منطلقان من نقطة متطابقان فإنه وببعض الحسابات البسيطة تستطيع بيان أن

$AF = AH = s - a$

وعموما طول أي مماس منطلق من زاوية من زوايا المثلث ABC يعادل نصف طول محيط المثلث مطروحا منه طول الضلع المقابل للزاوية. هذه القاعدة سنستخدمها في الخطوة القادمة.

خطوة2: ارسم الدائرة الخارجة المقابلة للزاوية A وهي التي تمس الضلع المقابل للزاوية A وتمس امتداد الضلعين الآخرين وليكن مركزها َQ وطول نصف قطرها $R_a$

$AF + FB + BJ = s$

ولكن $BL = BJ$ (لماذا) . إذا

$AL = AK = s$

المثلثان AFP , ALQ متشابهان من زاوية قائمة في كليهما وزاوية مشتركة عند A . إذا

$\frac{r}{{AF}} = \frac{{R_a }}{{AL}} \Rightarrow r = \frac{{AF}}{{AL}}R_a = \frac{{s - a}}{s}R_a$

بالتعويض في (1) ينتج لنا صيغة للمساحة بنصف قطر $R_a$ وهي

$Area = (s - a)R_a \quad \quad (2)$

ارسم منصف الزاوية الخارجية $\angle BCI$ والذي يمر في المركز Q . بما أن CP منصف للزاوية الداخلية $\angle BCA$ فإن CP و CQ متعامدان وبالتالي المثلثان AFP , ALQ متشابهان . إذا

$\frac{{CH}}{r} = \frac{{R_a }}{{CK}} \Rightarrow rR_a = CH \cdot CK$

أي أن

$rR_a = (s - c)(s - b)\quad \quad (3)$

بضرب (1) في (2):

$Area^2 = s(s - a)rR_a = s(s - a)(s - b)(s - c)$

خذ الآن جذر الطرفين لنحصل على صيغة هيرون في مساحة المثلث

$Area = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

مسائل:

*أوجد مثلثات ذات أضلاع ومساحات بأعداد صحيحة.

*هل هناك غير المثلث القائم (3,4,5) بمحيط 12 ومساحته عدد صحيح؟.

*أوجد أقصر محيط كعدد صحيح والذي ينتج لنا منه مثلثين مختلفين بمساحة كعدد صحيح.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

صيغة هيرون (هيرو) في مساحة المثلث

Heron's (Hero) Formula

التعليقات

شكرا على الشرح الجميل و

شكرا على هذه المعلومات

شكرا

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة