مسائل هلبرت

Hilbert's Problems

مسال هلبرت هي عبارة عن مسائل مستعصية لحد عام 1900 ، حيث قد قام ديفيد هلبرت بطرح 23 مسألة في الكونجرس الرياضي العالمي في باريس ، وقد قال هلبرت أن هذه المسائل ستحدد شكل الرياضيات في المئة سنة المقبلة ، لأنه اختار مسائل ذات صلات وجذور بفروع متعددة في الرياضيات ، بحيث أن السعي لحلها سوف يولد نظريات ونتائج جديدة ، وهذا ما حصل .

فيما يلي مسائل هلبرت :

الرقم	النص	وضعية المسألة
1	(أ) هل هناك عدد كاردينال لا نهائي (transfinite caridnal number) يقع بين $\aleph_{\circ}$ و $\mathfrak c$ ؟ (ب) هل يمكن ترتيب الأعداد الحقيقية ترتيب حسناً (Well-ordering) ؟	(أ) تعرف هذه بـــفرضية الاستمرارية ، ومع أنه لا يوجد حل مرض لها حتى الآن . لكن غودل وكوهين أثبتا أنه لا يمكن حلها ضمن البناء المسلماتي الحديث لنظرية الأعداد المعروف باسم نظام زرميلو فرانكلين (ب)وقد أجاب زرميلو عام 1904 على هذا السؤال بصياغته مسلمة الاختيار حيث أثبت أن هذه عبارة عن مسلمة لا يمكن إثباتها ضمن نظام زرميلو فرانكلين ، ولكنهاعادة تضاف على أنها المسلمة العاشرة في هذا النظام
2	هل يمكن إثبات أن مسلمات المنطق متسقة (consistent) ؟	لقد أجاب جودل عام 1931على هذا السؤال بالنفي بنظريته المعروف بنظرية جودل لعدم الاكتمال Gödel's incompleteness theorem ، حيث تنص النظرية على أن أي نظام مسلماتي منتهي يجب أن يحوي عبارات لا يمكن حلها ضمنه ، بعبارة إخرى .. فإن أي نظام رسمي formal system يكون متسقاً بذاته إذا وفقط إذا كان غير متسقاً ! .. مع ذلك فإن نتيجة جودل لا تلقى إجماعاً كاملاً
3	إذا أعطي مجسمان عديدا الأسطح polyhydra ، هل يمكن دائماً تقطيع أحدهما إلى عدد محدود من المجسمات عديدة الأسطح ومن ثم يتم إعادة تجميعها لتشكيل المجسم الثاني ؟	الإجابة هي لا ، وقد أثبت ذلك Dehn عام 1902 بتطوير نظرية لامتغيرات دين Dehn Invarients
4
5
6	هل يمكن بناء الفيزياء على مسلمات ؟	لم تتم الإجابة على السؤال حتى الآن
7	إذا كان a عدد جبرياً غير صحيح ، و b عدداً لا نسبياً .. فهل $a^b$ عدد متسامي ؟ وبالتحديد هل العددان $e^\pi , { \sqrt 2 } ^ {\sqrt 2}$ عددان متساميان ؟	الإجابة على السؤال الثاني كانت نعم ، وقد قامت مبرهنة غالفوند-شنايدر Gelfond-Schneider Theorem بتعميمها بإثبات تسامي $a^b$ في حالة كون a جبرياً وb جبرياً لانسبياً . ولكن لم تتم الإجابة على الحالة العامة حتى الآن .
8	أثبت فرضية ريمان	ما تزال هذه الفرضية عصية على الحل ، وقد تم إدراجها ضمن عدة مسائل خصصت لكل منها جائزة مليون دولار عام 2000
9	إئت بأعم صورة ممكن لمبرهنة الانقلاب recprocity theorem في أي حقل أعداد جبري algebraic number field	حلت جزئياً
10	هل هناك طريقة أو خوازرمية شاملة لحل أي معادلة ديوفونتية ؟	أثبت ماتياسيفيتش Matiyasevich استحالة ذلك عام 1970
11	قم يتعميم نتائج نظرية الأعداد في الحقول التربيعية quadratic field إلى حقل جبري عام	حلت جزئياً
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23