فضاءات توبولوجية هامة

Important Topological Spaces

سنذكر في هذه الصفحة بعض أهم أنواع الفضاءات التوبولوجية الهامة تاركين الإثبات للقارىء.

1) الفضاء التوبولوجي الضعيف ( غير متقطع Indiscrete Topology ) :

لتكن $X\ne \phi$ و لتكن $\tau=\{ \phi, X \}$ .

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي غير متقطع أو فضاء توبولوجي ضعيف .

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{ind}$ .

نشير في الفضاء التوبولوجي لديه أقل عدد من المجموعات المفتوحة على المجموعة $X$ ، هو أضعف أنواع الفضاءات التوبولوجية .

2) الفضاء التوبولوجي المتقطع أو القوي ( Discrete Topology ) :

لتكن $X\ne \phi$ و لتكن $\tau=\wp(X)$ .

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي متقطع أو فضاء توبولوجي قوي .

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{dis}$ .

نشير في الفضاء التوبولوجي لديه أكبر عدد من المجموعات المفتوحة على المجموعة $X$ ، هو أقوى أنواع الفضاءات التوبولوجية ، و السبب يعود إلى أن $\tau_{dis}$ هي جميع المجموعات الجزئية من $X$ أي ( power set ) .و كل توبولوجي آخر على $X$ ستكون مجموعات هي مجموعات جزئية من مجموعة المجموعات الجزئية للفضاء $X$ .

3) الفضاء التوبولوجي للشعاع الأيسر ( Left ray Topology) :

لتكن $X=\mathbb R$ .و لتكن :

$\tau=\{ (-\infty, a): a\in \mathbb R \}\cup\{\phi, \mathbb R\}$ .

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للشعاع الأيسر .

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{left}$ .

4) الفضاء التوبولوجي للشعاع الأيمن ( Right ray Topology) :
لتكن $X=\mathbb R$ .و لتكن :

$\tau=\{ (a, \infty): a\in \mathbb R \}\cup\{\phi, \mathbb R\}$ .

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للشعاع الأيمن .

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{right}$

5) الفضاء التوبولوجي للمتمة المحدودة ( Cofinite Topology ) :
لتكن $X\ne \phi$ و لتكن :

$\tau=\{ U\subseteq X : X-U \text{\ is finite} \} \cup\{\phi\}$ .

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للمتممة المحدودة .
أي المجموعات المفتوحة هي التي لها المتمة عدد محدود من العناصر.

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{cof}$ .

6) الفضاء التوبولوجي للمتمة العدودة ( Cocountable Topology ) :

لتكن $X\ne \phi$ و لتكن :

$\tau=\{ U\subseteq X : X-U \text{\ is countable} \} \cup\{\phi\}$ .

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للمتممة المحدودة .
أي المجموعات المفتوحة هي التي لها المتمة عدد عدود من العناصر.

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{cof}$ .

7) الفضاء التوبولوجي المعتاد أو القياسي ( Usual Topology OR Standard Topology ) :

لتكن $X=\mathbb R$ .و لتكن :

$\tau=\{ U: \forall x \in U \exist \ (a,b) \mathrel\backepsilon x\in (a,b)\subseteq U \} \cup \{\phi\}$

و بالتالي الزوج المرتب $(X,\tau)$ هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي المعتاد أو القياسي .

نرمز $\tau$ بالرمز $\tau_{u}$ .

نشير إلى أن التوبولوجي السابف هو أحد أبرز و اهم أنواع التوبولوجي على $\mathbb R$ بسبب أنه تم توليده من الفترات المفتوحة على

$\mathbb R$ .

و لا يعني أنه بوجود الأمثلة السابقة أن كل ما دون هذه الأمثلة غير مهم ، بل هنالك العديد من الفضاءات التوبولوجية الهامة جداً و التي بني عليها أمثلة مناقضة .

المرجع :
General Topology , Paul Long

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

فضاءات توبولوجية هامة

Important Topological Spaces

التعليقات

لو سمحت ممكن برهان 5) الفضاء

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة