توبولوجي مستحث بواسطة الدوال

Topologies Induced by functions

نظرية (1) :

ليكن لدينا $(X,\tau_X)$ فضاء توبولوجي ، لنفرض أن $Y\ne\phi$ أي مجموعة ، و لنفرض أن $f:X\rightarrow Y$ أي دالة و بالتالي :

$\tau_Y=\{V\subseteq Y|f^{-1}(V)\in \tau_X\}\equiv \{V\subseteq Y|\exist U\in \tau_X \backepsilon f^{-1}(V)=U\}$

عبارة عن توبولوجي استحث على المجموعة $Y$ .

أي أن $(Y,\tau_Y)$ عبارة عن فضاء توبولوجي .

الإثبات :

لتكن لدينا $\{V_a | a\in \Delta \}$ عائلة من عناصر $\tau_Y$ ، و بالتالي لكل $a\in \Delta$ يوجد لدينا $U_a\in \tau_X$ بحيث $U_a=f^{-1}(V_a)$ .

الآن لنتحقق من شروط التوبولوجي :

1) $\bigcup\limits_{a\in \Delta} U_a =\bigcup\limits_{a\in \Delta} f^{-1}(V_a)=f^{-1}\left(\bigcup\limits_{a\in \Delta} V_a\right)$

أي أن $\bigcup\limits_{a\in \Delta} V_a \in \tau_Y$ .

2) إذا كان لدينا $V_1,V_2\in \tau_Y$ فإن:

$f^{-1}(V_1\cap V_2) =f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)\in \tau_X$

أي أن $V_1\cap V_2\in \tau_Y$ .

3) الآن $\phi=f^{-1}(\phi)$ و لدينا أيضاً $X=f^{-1}(Y)$ .

وهذا يعني ان $\phi,Y\in \tau_Y$ .

$\therefore$ $(Y,\tau_Y)$ عبارة عن فضاء توبولوجي .

التوبولوجي على $Y$ هو توبولوجي استحث بواسطة الدالة $f$ ، أي كون حسب طبيعة الدالة $f$ و نوع التوبولوجي على $X$ ، الي طبيعة المجموعات المفتوحة له.

لنبين النظرية بمثال بسيط :

ليكن لدينا $X=Y=\mathbb R$ و لنعرف الدالة $f:X\rightarrow Y$ بالشكل الآتي :

$f(x)=\begin{cases} 1 & x\geq 0 \\ -1& x<0 \end{cases}$

فإذا كان التوبولوجي على $X$ هو $\tau_{left}$ .

لنفرض أن $V\subseteq Y$ و بالتالي :

$f^{-1}(V)=\begin{cases} \phi & -1,1\not\in V \\ X &-1,1\in V \\ (-\infty,0) &-1\in V ,1\not\in V \\ [0,\infty) &1\in V,-1\not\in V \end{cases}$

لاحظ أن جميع الصور العكسية للمجموعة $V$ هي مجموعة مفتوحة في $\tau_{left}$ عدى الحالة الآخيرة و هي إن كان $1\in V$ و $-1\not\in V$ فالصور العكسية لها هي $[0,\infty)$ و هذه ليست مجموعة مفتوحة في $\tau_{left}$ .

و يكون عناصر $\tau_Y$ هي الحالات المحتلمة الثلاث الأولى فقط .

إذن عملية معرفة المجموعات المفتوحة التي استحثت بواسطة الدالة $f$ ترتكز على أخذ أي مجموعة جزئية في $Y$ و أخذ جميع الإحتمالات للصور العكسية لها ، و نحدد فيما بعد أي الصورالعكسية هي عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي $\tau_X$ .

كما أنه يوجد توبولوجي يستحث على $Y$ بواسطة الدالة $f$ فهنالك أيضاً توبولوجي آخر يستحث على $X$ بواسطة الدالة $f$ .

نظرية (2) :

لتكن $X\ne \phi$ و ليكن لدينا $(Y,\tau_Y)$ فضاء توبولوجي ، لتكن الدالة $f:X\rightarrow Y$ ، و بالتالي :

$\tau_X=\{f^{-1}(V)| V\in\tau_Y\}$

عبارة عن توبولوجي استحث على $X$ بواسطة الدالة $f$ .

الإثبات : نفس طريقة إثبات النظرية(1) ( متروك للقارىء) .

لنبين مفهوم النظرية(2) من خلال المثال الآتي :

لتكن $X=\{a,b,c\}$ و لتكن $Y=\{1,3,5,7\}$ ، و ليكن التوبولوجي على $Y$ هو :

$\tau_Y=\{\phi,Y,\{1,5\},\{5,7\},\{5\},\{1,5,7\}\}$

و لنعرف الدالة $f:X\rightarrow Y$ كما يلي :

$f=\{(a,5),(b,7),(c,7)\}$

العملية التي يجب اتباعها الأن شبيها في التوبولوجي المستحث على $Y$ ، ذلك عن طريق أخذ الصور العكسية للمجموعات المفتوحة في $\tau_Y$ ، و وضعها في مجموعة التي ستكون توبولوجي مستحث على $X$ .

في مثالنا هنا سيكون الأمر كالآتي :

$f^{-1}(\phi)=\phi, f^{-1}(Y)=X,f^{-1}(\{1,5\})=\{a\},f^{-1}(\{5,7\})=X,f^{-1}(\{5\})=\{a\},f^{-1}(\{1,5,7\})=X$

و بالتالي :

$\tau_X=\{\phi,X,\{a\}\}$

المرجع :

General Topology , Paul Long

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

توبولوجي مستحث بواسطة الدوال

Topologies Induced by functions

التعليقات

I serached a bunch of sites

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة