فضاء الجداء الداخلي

Inner Product Space

التعريف :

ليكن لدينا فضاء المتجهات V المعرف على الحقل K ( عادة $K = \mathbb R$ أو $K = \mathbb C$ ) إن كل دالة $\langle . , . \rangle \ : V \times V \to \mathbb K$ تحقق الشروط التالية : ( حيث ${{u}},{{v}},{{w}}\, \in \,V\,\,,\,c\, \in \,K$ ) ( وإذا كان ${\bar z}$ يشير إلى المرافق المركب )

$\begin{array}{l} (1)\;\langle {{u}} + {{w}},{{v}}\rangle = \langle {{u}},{{v}}\rangle + \langle {{w}},{{v}}\rangle \\ (2)\;c\langle {{u}},{{v}}\rangle = \langle c{{u}},{{v}}\rangle \\ (3)\;\langle {{u}},{{v}}\rangle = \overline {\langle {{v}},{{u}}\rangle } \\ (4)\;\langle {{v}},{{v}}\rangle \ge 0\;\,\, \wedge {\rm{ }}\langle {{v}},{{v}}\rangle = 0\;\;{\rm{iff}}\;\;{{v}} = {{0}} \\ \end{array}$

تسمى جداء داخلي (أو ضرب داخلي ) ، ويسمى الفضاء $(V,\langle \rangle )$ فضاء الجداء الداخلي

إذا كان $K = \mathbb R$ فإن الشرط 3 يصبح $\langle {{u}},{{v}}\rangle= \langle {{v}},{{u}}\rangle$ .. أي أنها متناظرة

المسافة والمنظم norm

في فضاء الجداء الداخلي يتم تعريف المنظم (أو ما يعرف بطول المتجه) بالشكل :

$\|{{u}}\| = \sqrt {\langle {{u}},{{u}}\rangle }$

ويتم تعريف المسافة بين متجهين بالشكل :

$d(u,v) = \|u - v\|$

نقول أن المتجهين متعامدان orthogonal إذا كان $\langle u,v \rangle =0$

خواص الجداء الداخلي

يحقق أي فضاء جداء داخلي متساوية متوازي الأضلاع : $\|u + v\|^2+ \| u -v \|^2 = 2 \left ( \| u \| ^ 2 + \| v \| ^2 \right )$
إذا كان متجهان u,v متعامدين فإنها يحقق متطابقة فيثاغورس : $\| u \| ^2 + \| v \| ^2 = \| u + v \| ^2$
إن أي متجهين u,v يحققان متباينة شوارز Schwarz Inequility و هي : $|\langle u,v\rangle | \leq \| u \| \| v \|$
كذلك فإن متباينة المثلث متحققة : $\| u \| + \| v \| \le \| u + v \|$

أمثلة :

إن عملية الجداء النقطي ( أو الضرب العددي ) (dot product) على فضاء المتجهات $\mathbb R^n$ تمثل جداء داخلياً .

وأيضاً ، فضاء الدوال المتصلة على فترة : $C[a,b]$ نعرف الجداء الداخلي :

$\langle f , g \rangle= \int _ a ^ b f(x) g(x) \ dx$

فضاء هلبرت

إن فضاء الجداء الداخلي يسمى فضاء هلبرت Hilbert Space إذا كان الفضاء تاماً Complete بالنسبة لدالة المسافة الناتجة من الجداء الداخلي ، وكل فضاء جداء داخلي يمكن تكملته ليصبح فضاء هلبرت

مواضيع ذات صلة من منتدى رمز :

http://www.mathramz.com/xyz/viewtopic.php?t=1710

المراجع :

Elementry Linear Algebra , Ron Larson, Bruce H. Edwards , David C. Falvo , Fifth Edition
Introductory Functional Analysis with Applications , Erwin Kryeszig , Wiley Classics Edition

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

فضاء الجداء الداخلي

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة