الحلقة التامة (المنطقة الصحيحة)

Integral Domain

في الحلقات يحدث أن يكون حاصل ضرب عنصرين $ab = 0$ بالرغم من أن $a \ne 0$ و $b \ne 0$ . كمثال في $(\mathbb{Z}_6 , \oplus , \odot )$ لدينا $3 \odot 2 = 0$ العنصر 3 هنا يسمى قاسم للصفر وكذلك العنصر 2. الآن سنحاول أن نميز الحلقات التي لا يحدث فيها مثل هذه الحالات وتعرف بالحلقات التامة والبعض يطلق عليها مسمى "المنطقة الصحيحة" ونبدأ بتعريف قاسم الصفر.

تعريف الحلقة التامة

تعريف (قواسم الصفر في حلقة): ليكن $a \ne 0$ عنصر من حلقة R. نقول أن a قاسم أيمن للصفر right zero divisor إذا وجد $b \ne 0$ من R بحيث $ba = 0$ . نقول أن a قاسم أيسر للصفر left zero divisor إذا وجد $b \ne 0$ من R بحيث $ab = 0$ . نقول أن a قاسم للصفر zero divisor إذا وجد $b \ne 0$ من R بحيث $ab = ba = 0$ .

تعريف (الحلقة التامة):الحلقة التامة (أو المنطقة الصحيحة) هي حلقة ابدالية R ذات محايد $1 \ne 0$ ولا تملك أي قاسم للصفر, أي أنه إذا كان $a,b \in R$ بحيث $ab = 0$ فإن $a = 0$ أو $b = 0$ .

أمثلة على حلقات تامة وغير تامة

1. الحلقة $\mathbb{Z}_p$ تامة إذا وإذا فقط كان p عدد أولي. كمثال $\mathbb{Z}_5$ حلقة تامة بينما $\mathbb{Z}_{15}$ ليست تامة حيث $3 \odot 5 = 0$ .

2. حلقة الأعداد الصحيحة $\mathbb{Z}$ تامة لكونها إبدالية ذات محايد وخالية من قواسم الصفر.

3. في حلقة المصفوفات $M_2 (\mathbb{Z})$ العنصر $A = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill \\\end{array}} \right)$ قاسم للصفر لأنه غير صفري ويوجد عنصر غير صفري $\;B = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 1 \hfill \\\end{array}} \right)$ بحيث $AB = 0 = BA$ وعليه فإن $M_2 (\mathbb{Z})$ حلقة غير تامة.

4. الحلقة

$\;R = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}c} z \hfill & {\bar w} \hfill \\ { - w} \hfill & {\bar z} \hfill \\ \end{array} } \right):z,w \in \mathbb{C}} \right\}$

الجزئية من حلقة الأعداد المركبة لها محايد ولا تملك قواسم للصفر ولكنها ليست حلقة تامة لأنها غير إبدالية.

5. الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt 2 ) = \{ a + b\sqrt 2 :a,b \in \mathbb{Z}\}$ تامة فهي إبدالية ومحايدها 1 ولا تملك قواسم للصفر حيث أنه إذا كان $(a + b\sqrt 2 )(u + v\sqrt 2 ) = 0$ فإن $a + b\sqrt 2 = 0$ أو $u + v\sqrt 2 = 0$ .

6. إذا كان R,S حلقتين تامة فإن الحلقة $R \times S$ تامة إذا وفقط إذا كانت إحدى الحلقتين R أو S هي الحلقة التافهة $\{ 0\}$ . هذا واضح من العملية $(r,0)(0,s) = (0,0)$ .

الحلقة التامة وقوانين الاختصار

بالنسبة لعملية الجمع في حلقة R نجد أن قانوني الشطب أو الاختصار

$\begin{array}{l} a + b = a + c \Rightarrow b = c, \\ b + a = c + a \Rightarrow b = c \\ \end{array}$

متحققة حيث $a,b,c \in R$ وهذا لأن $(R, + )$ زمرة. الحقيقة التالية تبين لنا الشرط الضروري والكافي لتحقق قانوني الشطب بالنسبة لعملية الضرب.

مبرهنة: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد $1 \ne 0$ فإن R خالية من قواسم الصفر إذا وإذا فقط كان لكل عنصر $a \ne 0$ في R ولأي $x,y \in R$ فإن قوانين الاختصار في الضرب التالية متحققة

$\left\{ \begin{array}{l} ax = ay \Rightarrow x = y \\ xa = ya \Rightarrow x = y \\ \end{array} \right.\quad (*)$

لذلك الحلقة الإبدالية R ذات المحايد حلقة تامة إذا وإذا فقط تحققت قوانين الاختصار (*) حيث $a \ne 0$ .

البرهان: افرض أن $ax = ay$ حيث $a \ne 0$ . إذا $ax - ay = 0$ وبالتالي

$a(x - y) = 0$

بما أن R لا تملك قواسم للصفر فإن $x - y = 0$ أي $x = y$ . بالمثل نستطيع إثبات أن $xa = ya$ تقتضي $x = y$ . لإثبات العكس افرض أن $ab = 0$ وأن $a \ne 0$ . بما أن $ab = a0$ وبما أن قوانين الاختصار متحققة فإن $a = 0$ والذي يثبت أن R خالية من قواسم الصفر.