Introduction to Topology

ما هو علم التوبولوجي ؟

التوبولوجي كلمة مترجمة من الكلمة الإنجليزية Topology  ، و تنقسم كلمة التوبولوجي إلى مقطعين المقطع الأول ( Topo) التي تعود إلى أصل يوناني إلى ( Topos ) و التي تعني "مكان" ( Place  ) ، و المقطع الثاني هو (logy  ) و التي تعود لأصل يوناني ( Logos ) و التي تعني "دراسة" ( Study ) ، فلو قمنا بعملية ربط المعنيين في الكلمة ، لوجدنا أن التوبولوجي هو الهندسة الحديثة في دراسة جميع التراكيب والمكونات للفضاءات المختلفة .

إذن يعرف علم التوبولوجي :

هو أحد فروع علم الرياضيات و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و خضائص  جميع الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهه  تحت عمليات التشكيل المتصلة ( Smooth Deformations  ) دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في الإنتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .

و كأن التعريف يخبرنا أن الهندسة التي يتعامل بها التوبولوجي ليست الهندسة التي نعرفها ، بل كأنها هندسة مطاطية ، و لكي يتضح المفهوم بشكل جيد ، لندرس الآتي :

من المعلوم لدينا أن المستوى الإقليدي في الهندسة الإعتيادية التي نعرفها ، أنه بإمكاننا أن نقوم بعملية نقل الأشكال من مكان إلى آخر عن طريق الإزاحة ، و بإمكاننا أيضاً أن نقوم بعملية دوران له و عكسه و قلبه ، و لكن لا نستطيع القيام بعملية ثني له أو القيام بعملية تمدد بشكل متصل .

مفهوم الهندسة المطاطية :

 بشكل موجز أن الأشكال عبارة عن قطع من المطاط قابلة للثني و التمدد ، و كل شكلين أوأكثر بإمكاننا أن نحصل على أحدهما من الآخر و بالعكس يكونا متشابهين .

فمثلاً :

المثلث و الدائرة و المربع  ، كلها أشكال موجودة في المستوى الإقليدي بخصائصها ، و نقول أن أحدهما كافىء الآخر إذا كان لهما نفس المساحة  .

في الهندسة المطاطية جميع هذه الأشكال هي نفسها متشابهه ، فالدائرة هي نفسها المثلث ، و السبب يعود إلى أنه يمكن تشكل المثلث من الدائرة بثني محيط الدائرة و جعلها كزوايا للمثلث و بالعكس يمكن إعادة تشكل الدائرة من المثلث بعملية تمديد أضلاع المثلث إلى دائرة ، و هذا أيضاً ينطبق على المستطيل .

لاحظ أنه عندما قمنا بتشكل أحد هذه الأشكال من الآخر لم نقم بعملية قطع Cut  لأحدها و لم نقم بعملية تزيق للشكل من جهة أي ترك أي نقطة انفصال .و بالتالي في الهدنسة المطاطية ( التوبولوجي ) يكون الأشكال متشابهه إذا استطعنا الحصول على أحدهما من الآخر بعمليات متصلة و بالعكس . و بالتالي الدائرة لا تشابه الشكل الذي يشبه الرقم بسبب أنه يمكن الحصول عليه من قبل الدائرة و لكن في العكس لا يمكن ، بل سنحتاج إلى فصل منتصف رقم لم نحتاج إلى أي نقطة انفصال من الدائرة إلى الرقم ، و قيس عل ذلك بأمثلة عديدة .

نستطيع القول بأن الأشكال التي تشترك بنفس العدد من الفتحات ( نقاط الإنفصال ) يكون كلاهما متشابه في الهدنسة المطاطية ، أي كلاهما يشتركان في نفس التوبولوجي ، و التي لا تحوي على أي فتحة تدعى مترابط بشكل بسيط Simply connected space.

التوبولوجي يدخل تقريباً في جميع فروع الرياضيات بلغته الخاصة و المميزة .

فروع التوبولوجي

يتفرع التوبولوجي لعدة فروع و هي :

1)      التوبولوجي النقطية ( point-set Topology  ) :

و هو الفرع الذي يهتم بالتوبولوجي العامة من ناحية خصائص الفضاء من ناحية التراكيب كدراسة Compactness  التراص و Connectedness ( الترابط ) .

2)      التوبولوجي الجبرية ( Algebraic Topology  ) :

و هو الفرع الذي يهتم بشكل عام في دراسة درجات الترابط من خلال التراكيب الجبرية ، مثل دراسة علم الهمولوجي ( Homology  ) .

3)      التوبولوجي الهندسية ( Geometric Topology  ) :

و هو الفرع الذي يهتم في دراسة Manifolds  ( بنية رياضية كل نقطة فيها لها جوار يكون هميومورفيك إلى الفضاء الإقليدي ) ( و يهتم بالأبعاد حسب أبعاد الفضاء الإقليدي ) .

تأريخ التوبولوجي بشكل موجز

بدأ التفكير في التوبولوجي من خلال مشكلة أولير في المسألة المشهورة " السبعة الجسور في مدينة كونسبريك" (Seven Bridges of Königsberg) ، و كانت ورقة أويلر عام

1736 أول  نتيجة على الفضاء التوبولوجي .

أول من قدم مصطلح التوبولوجي هم الألمان باسم " Topologie  " عام 1847 بواسطة جوهان بندكت ، و من ثم أظهر أصحاب التخصص في اللغة الإنجليزية أن كلمة Topologist  هو كل شخص متخصص في التوبولوجي .

أما التوبولوجي الحديثة فتعمد بشكل قوي جداً على مفاهيم نظرية المجموعات التي أسست من قبل كانتور في أواخر القرن التاسع عشر .

قام عدة علماء بوضع تعاريف محددة له ، فقام العالم أسكولي و غيرهم بوضع أول تعريف للفضاء المتري الذي يعتبر حالة خاصة في التوبولوجي حالياً في سنة 1906 .

و بعدها قام العالم هاوسدورف بوضع تعريف له و الذي يعرف حالياً بفضاء هاوسدورف المشهور جداً في سنة 1914. و لكن أتى العالم كزميرز كورتويسكي Kazimierz Kuratowski.  سنة 1922 بوضع التعريف المعروف لدينا حالياً .

أمثلة

من أشهر المقولات من باب الدعابة في التوبولوجي هي :

"A topologist is a person who cannot tell a coffee cup from a doughnut "

و تقول هذه العبارة أن :

متخصص التوبولوجي لا يستطيع التميز بين كوب القهوة ( الذي له يد واحدة ) مع قطعة الكعكة ( الدائرية)

و السبب أنه كلاهما له فتحة واحدة و و يمكن تشكيل أحدهما إلى الأخر و بالعكس دون وجود أي عملية فصل ،و هي أحد تطبيقات علم التوبولوجي الجبرية في Homology  و الشكل الآتي يبن ذلك :

و من أشهر الأشكال في التوبولوجي أيضاً هوشريط  موبيص ( Möbius strip ) ، و هو شريط له سطح واحد و حافة واحدة ، كما في الشكل :

و هنالك الكثير من الأمثلة الجميلة و منها أيضاً :

المرجع :

http://en.wikipedia.org/wiki/Topology