متباينة جوردان

Jordan's Inequality

إذا كانت $0 \le x \le \pi /2$ فإن

$\frac{2}{\pi }x \le \sin x \le x$

وتسمى هذه العلاقة متباينة جوردان. الشق الأيسر هو المشوق هنا , ولذلك البعض يطلق مسمى متباينة جوردان على العلاقة التالية

$\frac{2}{\pi }x \le \sin x$

لإثبات المتباينة ارسم دائرة الوحدة (نصف قطرها 1 وحدة طول) مركزها O ولتكن $\angle POA = x$ بحيث قياسها لا يزيد عن قياس زاوية قائمة. من P اسقط عمودي يقطع OA ويقطع الدائرة في M وQ تواليا. واضح أن طول القوس AP هو $1 \cdot x = x$ وهو أطول من القطعة PM وعليه فإن $\sin x \le x$ ويتحقق التساوي فقط عندما ينعدم قياس الزاوية.

$توضيح$

بالنسبة للجزء الآخر من المتفاوتة نرسم الدائرة التي مركزها M ونصف قطرها طول القطعة PM . القوس PBQ عبارة عن نصف الدائرة وطوله $\pi \sin x$ . واضح أنه أطول من القوس PAQ الذي طوله $2x$ . إذا

$2x \le \pi \sin x$

والتساوي يتحقق عندما طرفي الفترة

$0 \le x \le \pi /2$

إذا

$\frac{2}{\pi }x \le \sin x \le x$

وبهذا تثبت المتباينة.

عدة تمديدات (تعميم) عملت لمتباينة جوردان نناقش واحد منها بعد عرض النظرية التالية.

نظرية 1 : إذا كانت كلا من الدالتين $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ متصلتان وبحيث تكون قابلتين للاشتقاق على $(a,b)$ وكانت $f'/g'$ تناقصية ,حيث $g' \ne 0$ على $(a,b)$ فإن كلا من الدالتين المعرفتان بالدستور

$\frac{{f(x) - f(a)}}{{g(x) - g(a)}},\quad \frac{{f(x) - f(b)}}{{g(x) - g(b)}}$

تناقصية على $(a,b)$ .

باستخدام هذه النظرية يمكن إثبات تعميم لمتباينة جوردان كالتالي

إذا كانت $0 < x \le \pi /2$ فإن

$\frac{\pi }{2} + \frac{1}{{2\pi ^5 }}(\pi ^5 - 64x^5 ) \le \frac{{\sin x}}{x} \le \frac{\pi }{2} + \frac{{\pi - 2}}{{\pi ^5 }}(\pi ^5 - 64x^5 )$

مع تحقق التساوي إذا وإذا فقط $x = \pi /2$ .

للتحقق من صحة هذه المتفاوتة عرف على الفترة $[0,\pi /2]$ كلا من الدوال

$f_1 (x) = \frac{{\sin x}}{x},\quad f_2 (x) = - 16x^4 ,\quad f_3 (x) = \sin x - x\cos x,\quad f_4 (x) = x^5$

بالطبع هنا نضع القيمة الملائمة $f_1 (0) = 1$ . بما أن

$\frac{{f_1 ^\prime (x)}}{{f_2 ^\prime (x)}} = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{64x^5 }} = \frac{{f_3 (x)}}{{64f_4 (x)}},\;{\rm{and }}\frac{{f_3 ^\prime (x)}}{{f_4 ^\prime (x)}} = \frac{{\sin x}}{{5x^3 }}$

وحيث أن $\frac{{\sin x}}{{5x^3 }}$ تناقصية على $(0,\pi /2)$ فإن $\frac{{f_1 ^\prime (x)}}{{f_2 ^\prime (x)}}$ تناقصية على نفس الفترة وحسب النظرية فإن

$\frac{{f_3 (x)}}{{f_4 (x)}} = \frac{{f_3 (x) - f_3 (0)}}{{f_4 (x) - f_4 (0)}}$

تناقصية أيضا على نفس الفترة. إذا $\frac{{f_1 ^\prime (x)}}{{f_2 ^\prime (x)}}$ تناقصية وبالتالي وحسب النظرية فإن

$h(x) = \frac{{f_1 (x) - f_1 (\pi /2)}}{{f_2 (x) - f_2 (\pi /2)}} = \frac{{(\sin x/x) - 2/\pi }}{{\pi ^4 - 64x^4 }}$

تناقصية على $(0,\pi /2)$ . إذا

$\frac{1}{{2\pi ^5 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2^ - } h(x) \le h(x) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } h(x) = \frac{{\pi - 2}}{{\pi ^5 }}$