المضاعف المشترك الأصغر م.م.أ في الحلقات

The Least Common Multiple (lcm) in Rings

تعريف

لتكن R حلقة إبدالية. نقول أن $m \in R$ مضاعف مشترك أصغرleast common multiple أو مضاعف مشترك بسيط للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ إذا كان

1. $a_i |m$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ .

2. إذا كان $c \in R$ بحيث $a_i |c$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ فإن $m|c$ .

وفي هذه الحالة نكتب $m = [a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ]$ .

في الحالة العامة قد لا يوجد المضاعف المشترك الأصغر لعنصرين من حلقة ما. كذلك قد يوجد أكثر من مضاعف مشترك أصغر لعناصر من حلقة ما. في الحقيقة إذا كان كلا من $d_1 ,d_2$ قاسم مشترك أكبر فإنهما متشاركان وذلك وفق الشرط الثاني من التعريف. المضاعف المشترك الأصغر يكون موجود دائما في أنواع معينة من الحلقات مثل منطقة المثالية الرئيسية.

مبرهنة1: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد فإن m مضاعف مشترك أصغر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ إذا وإذا فقط كانت $(m) = (a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n )$ .

مختصر البرهان: إذا كان m مضاعف مشترك أصغر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ فإن $a_i |m$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ لذلك $m \in (a_i )$ ومن ثم $m \in \cap _{i = 1}^n (a_i )$ . إذا $(m) \subset \cap _{i = 1}^n (a_i )$ . من جهة أخرى لأي $x \in \cap _{i = 1}^n (a_i )$ فإن $a_i |x$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ وبالتالي $m|x$ لأن m المضاعف المشترك الأصغر. إذا $x \in (m)$ ومن ثم نستنتج أن $(m) \supset \cap _{i = 1}^n (a_i )$ .

عكسيا, إذا كان $(m) = (a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n )$ فإن $m \in (a_i )$ وبالتالي $a_i |m$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ . إذا كان $a_i |c$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ فإن

$c \in (a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n ) = (m)$

إذا $m|c$ وبهذا ينتج أن m مضاعف مشترك أصغر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ وينتهي الإثبات.

لاحظ أن في حلقة ما, ليس بالضرورة أن يكون تقاطع المثاليات الرئيسية $(a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n )$ مثالية رئيسية. إذا كانت الحلقة منطقة مثالية رئيسية فكل مثالية هي رئيسية ولذلك نستنتج ما يلي:

نتيجة: إذا كانت R منطقة مثالية صحيحة فإن لأي عناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ يوجد مضاعف مشترك أصغرm.

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.

http://planetmath.org/encyclopedia/LeastCommonMultiple.html

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

المضاعف المشترك الأصغر م.م.أ في الحلقات

The Least Common Multiple (lcm) in Rings

تعريف

مراجع

التعليقات

لم افهم شئ

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة