المضاعف المشترك الأصغر م.م.أ في الحلقات

The Least Common Multiple (lcm) in Rings

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
مراجع

تعريف

لتكن R حلقة^[م] إبدالية. نقول أن $m \in R$ مضاعف مشترك أصغرleast common multiple أو مضاعف مشترك بسيط للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ إذا كان

1. $a_i |m$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ .

2. إذا كان $c \in R$ بحيث $a_i |c$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ فإن $m|c$ .

وفي هذه الحالة نكتب $m = [a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ]$ .

في الحالة العامة قد لا يوجد المضاعف المشترك الأصغر لعنصرين من حلقة ما. كذلك قد يوجد أكثر من مضاعف مشترك أصغر لعناصر من حلقة ما. في الحقيقة إذا كان كلا من $d_1 ,d_2$ قاسم مشترك أكبر فإنهما متشاركان وذلك وفق الشرط الثاني من التعريف. المضاعف المشترك الأصغر يكون موجود دائما في أنواع معينة من الحلقات مثل منطقة المثالية الرئيسية.

مبرهنة1: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد فإن m مضاعف مشترك أصغر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ إذا وإذا فقط كانت $(m) = (a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n )$ .

مختصر البرهان: إذا كان m مضاعف مشترك أصغر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ فإن $a_i |m$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ لذلك $m \in (a_i )$ ومن ثم $m \in \cap _{i = 1}^n (a_i )$ . إذا $(m) \subset \cap _{i = 1}^n (a_i )$ . من جهة أخرى لأي $x \in \cap _{i = 1}^n (a_i )$ فإن $a_i |x$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ وبالتالي $m|x$ لأن m المضاعف المشترك الأصغر. إذا $x \in (m)$ ومن ثم نستنتج أن $(m) \supset \cap _{i = 1}^n (a_i )$ .

عكسيا, إذا كان $(m) = (a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n )$ فإن $m \in (a_i )$ وبالتالي $a_i |m$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ . إذا كان $a_i |c$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ فإن

$c \in (a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n ) = (m)$

إذا $m|c$ وبهذا ينتج أن m مضاعف مشترك أصغر للعناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ وينتهي الإثبات.

لاحظ أن في حلقة ما, ليس بالضرورة أن يكون تقاطع^[م] المثاليات الرئيسية $(a_1 ) \cap (a_2 ) \cap \ldots \cap (a_n )$ مثالية رئيسية. إذا كانت الحلقة منطقة مثالية رئيسية فكل مثالية هي رئيسية ولذلك نستنتج ما يلي:

نتيجة^[م]: إذا كانت R منطقة مثالية صحيحة فإن لأي عناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ يوجد مضاعف مشترك أصغرm.

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية^[م] الحلقات

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.

http://planetmath.org/encyclopedia/LeastCommonMultiple.html

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.