نظرية التقارب المسقوف للوبيغ

Lebesgue Dominated Convergence Theorem

هذه النظرية الثالثة من نظريات التقارب الأساسية في تكامل لوبيغ. تاريخيا هو الأولى من قدمها لوبيغ عام 1902م في اطروحته Intégrale, longueur, aire التي تضمن نظريته في التكامل. وصف التقارب بأنه مسقوف أو محكوم لأن متتابعة الدوال^[م] المتقاربة للدالة f مهيمن عليها dominated بدالة g.

نظرية 1(نظرية لتقارب المسقوف للوبيغ): لتكن $(f_n )$ متتابعة من دوال حقيقية القيمة قابلة للقياس متقاربة تقريبا إلى لدالة f. إذا كان هناك دالة^[م] g قابلة للتكامل بحيث $\left| {f_n } \right| \leqslant g$ لكل صحيح موجب n فإن f قابلة للتكامل وعندئذ

$\int {fd\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {f_n d\mu }$

البرهان: لتكن N المجموعة ذات المقياس صفر والتي عليها لا تتقارب $(f_n )$ إلى f. بما أن تكامل الدالة^[م] لا يتغير إذا غيرنا قيمتها على مجموعة مقياسها صفر فإنه يمكن إعادة تعريف $f_n ,f$ على N لتكون صفر. إذا يمكن أن نفرض أن $(f_n )$ متقاربة إلى f لكل $x \in X$ .

بما أن $\left| {f_n } \right| \leqslant g$ فإن $\left| f \right| \leqslant g$ وبالتالي $f_n ,f$ قابلة للتكامل انظر الدوال^[م] القابلة للتكامل, نتيجة2. بما أن

$\pm f_n \leqslant \left| {f_n } \right| \leqslant g$

لذلك $f_n + g \geqslant 0$ وبتطبيق حقيقية فاتو على هذه المتتابعة مع استخدام مبرهنة3 نجد أن

$\begin{array}{*{20}c} {\int {fd\mu } + \int {gd\mu } } \hfill & { = \int {(f + g)d\mu } = \int {\lim \inf (f_n + g)d\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { \leqslant \lim \inf \int {(f_n + g)d\mu } = \lim \inf \left( {\int {f_n d\mu } + \int {gd\mu } } \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = \lim \inf \int {f_n d\mu } + \int {gd\mu } } \hfill \\ \end{array}$

إذا

$\int {fd\mu } \leqslant \lim \inf \int {f_n d\mu } \quad (1)$

بالمثل وباستخدام $g - f_n \geqslant 0$ نجد أن

$\begin{array}{*{20}c} {\int {gd\mu } - \int {fd\mu } } \hfill & { = \int {(g - f_n )d\mu } = \int {\lim \inf (g - f_n )d\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { \leqslant \lim \inf \int {(g - f_n )d\mu } = \lim \inf \left( {\int {gd\mu } - \int {f_n d\mu } } \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = \int {gd\mu } - \lim \sup \int {f_n d\mu } } \hfill \\\end{array}$

هنا استخدمنا القانون $\lim \inf \left( { - x_n } \right) = - \lim \sup \left( { - x_n } \right)$ . إذا

$\lim \sup \int {f_n d\mu } \leqslant \int {fd\mu } \quad (2)$

بمقارنة المتباينتين $(1),(2)$ ينتج أن

$\lim \sup \int {f_n d\mu } \leqslant \int {fd\mu } \leqslant \lim \inf \int {f_n d\mu }$

ولكن دائما $\lim \inf \int {f_n d\mu } \leqslant \lim \sup \int {f_n d\mu }$ إذا نهاية متتابعة التكاملات موجودة وبالتالي

$\int {fd\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {f_n d\mu }$

نتيجة2: إذا كانت $(f_n )$ متتابعة دوال حقيقية القيمة قابلة للقياس محدودة على E حيث $\mu (E) < + \infty$ ومتقاربة على E إلى الدالة^[م] f فإن

$\int {fd\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {f_n d\mu }$

البرهان: ليكن M العدد الحقيقي الذي يحقق $\left| {f_n (x)} \right| \leqslant M$ لكل $x \in E$ . إذا

$\left| {f_n \chi _E } \right| \leqslant M\chi _E$

ضع $g = M\chi _E$ . بما أن $\mu (E)$ منتهي, g قابلة للتكامل. طبق الآن نظرية التقارب المسقوف.

مراجع

http://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem
R G Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure
W. Ruden, Real and Complex Analysis

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.