الصفحة الرئيسية » التحليل الحقيقي » دوال خاصة

الدالة max و الدالة min

Max and Min Functions

 

تعرف دالة[م] الكبرى أو الأكبر max عند زوج مرتب (a,b) كما يلي

 

\max \{ (a,b)\} = \left\{ \begin{array}{l} a\quad {\rm{if }}a \ge b \\ b\quad {\rm{if }}b \ge a \\ \end{array} \right.

 

وغالبا ما يكتب\max (a,b) بدلا من \max \{ (a,b)\} وذلك للاختصار. يمكن التعبير عن دالة[م] max كما يلي

 

 

\max (a,b) = \frac{1}{2}\left( {a + b + \left| {a - b} \right|} \right)

 


للتحقق من هذا, بدون فقد لعمومية المسألة افرض a \ge b . إذا

 

a = \max (a,b) = \frac{1}{2}\left( {a + b + \left| {a - b} \right|} \right) = \frac{1}{2}\left( {a + b + a - b} \right) = a


تعرف دالة[م] الصغرى أو الأصغر بصورة مشابهة كما يلي

 

\min \{ (a,b)\} = \left\{ \begin{array}{l} a\quad {\rm{if }}a \le b \\ b\quad {\rm{if }}b \le a \\ \end{array} \right.

 

ويمكنك التحقق من العلاقة

 

\min (a,b) = \frac{1}{2}\left( {a + b - \left| {a - b} \right|} \right)


ابسط أنواع الربط بين دالة[م] الأكبر والأصغر عبر المتطابقة

 

\max (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ) = - \min ( - a_1 , - a_2 , \cdots , - a_n )


لأكثر من عددين نستطيع تعريف دالة[م] الأكبر ودالة الأصغر تكراريا بالعلاقات التالية

 

\begin{array}{l} \max (a_1 ,a_2 ,a_3 ) = \max (\max (a_1 ,a_2 ),a_3 ) \\ \min (a_1 ,a_2 ,a_3 ) = \min (\min (a_1 ,a_2 ),a_3 ) \\ \end{array}

 

 

\begin{array}{l} \max (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ) = \max (\max (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{n - 1} ),a_n ) \\ \min (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ) = \min (\min (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{n - 1} ),a_n ) \\ \end{array}

 

من الحقائق الرائعة حول دالة[م] الأكبر

 

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left( {e^{\frac{a}{x}} + e^{\frac{b}{x}} } \right)^x = \max (a,b)

 

أيضا

 

\min (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ) \le \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^p } } \right)^{1/p} \le \max (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n )

\min (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ) \le \left( {\prod\limits_{i = 1}^n {a_i } } \right)^{1/n} \le \max (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n )

 

وأخيرا الحقيقة المشهورة

 

\max (a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ) = \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^p } } \right)^{1/p}

 

 

مسائل


* أوجد \int_0^1 {\max (x^2 ,1 - x)} dx

 

* أثبت أن 1 + \int_0^1 {\frac{{\min (x,1 - x)}}{{\max (x,1 - x)}}} dx = 2\ln 2

 




نبذة عن كاتب الموضوع
User picture

الإسم: محترف
عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.