المثالية العظمى

Maximal Ideal

تعريف: لتكن $R$ حلقة و لتكن $I \triangleleft R$ ، تسمى $M$ مثالية عظمى في $R$ إذا كانت $M \ne R$ ولكل مثالية $N \triangleleft R$ تحقق $M \subseteq N \subseteq R$ إما $N = M$ أو $N = R$ .

مبرهنة 1 : إذا كانت R حلقة إبدالية تحقق أن $R^2=R$ ( وكحالة خاصة R ذات عنصر محايد ) ، فإن كل مثالية عظمى في R تكون مثالية أولية.
البرهان : نفرص أن $ab\in M$ ولكن $a\notin M$ و $b\notin M$ ، فإن المثاليتين $M+\left\langle a\right\rangle$ و $M+ \left\langle b\right\rangle$ تحويان $M$ ولكن M مثالية عظمى إذن $M+\left\langle a\right\rangle=M+\left\langle b\right\rangle=R$ . وحيث أن R إبدالية و $ab\in M$ فإن $\left\langle a\right\rangle\left\langle b\right\rangle\subseteq\left\langle {ab} \right\rangle\subseteq M$ ومنها

$R=R^2=\left( {M+\left\langle a\right\rangle}\right)\left( {M+\left\langle b\right\rangle} \right) \subseteq M^2+\left\langle a \right\rangle M+M\left\langle b \right\rangle+ \left\langle a\right\rangle \left\langle b \right\rangle \subseteq M$

وهذا يناقض أن $M\ne R$ هكذا نستنتج أنه إما $a\in M$ أو $b\in M$ أي أن M مثالية أولية.

مبرهنة 2: لتكن $M$ مثالية في حلقة $R$ ذات عنصر محايد $1_R\ne 0$ فإنه :
1) إذا كانت $M$ مثالية عظمى و $R$ إبدالية، فإن الحلقة ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ حقل.
2) إذا كانت الحلقة ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ حلقة قسمة ، فإن $M$ مثالية عظمى.
البرهان :
1)حيث أن R حلقة ذات عنصر محايد فإن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ كذلك . إذا كانت $a+M \ne M$ فإن $a \notin M$ وبالتالي $M\mathop\subset\limits_{\not=}M+\left\langle a\right\rangle$ ولكن $M$ مثالية عظمى مما يعني أن $M+\left\langle a\right\rangle=R$ وحيث أن R ابدالية فإنه يوجد $m\in M$ و $r\in R-M$ يحققان أن $1_R=m+ra$ أي أن $1_R-ra \in M$ ومنها $1_R+M=ra+M=\left({r+M}\right)\left({a+M}\right)$ أي أن $a+M$ له نظير ضربي هو $r+M$ مما يثبت أن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ حقل.
2)حيث أن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ حلقة قسمة فإن $1_R+M\ne 0+M$ ومنها $1_R\notin M$ أي أن $M\ne R$ . الآن لتكن N مثالية تحقق أن $M\mathop\subset \limits_{\not=}N$ إذن يوجد $a\in N-M$ ولكن $a+M$ له معكوس ضربي وليكن $b+M$ أي

$ab+M=\left({a+M} \right)\left( {b+M} \right)=1_R+M$

وهذا يعني أن $ab-1_R=c\in M$ ولكن $a\in N$ و $M\subset N$ وبالتالي $1_R\in N$ أي $N=R$ ما يثبت أن M مثالية عظمى.

مبرهنة 3: العبارات الآتية متكافئة لأي حلقة إبدالية R ذات عنصر محايد $1_R\ne 0$ :
1) R حقل
2)R لا يوجد فيها مثاليات فعلية.
3) $0$ مثالية عظمى في R .
4)كل تشاكل حلقي غير صفري $R\to S$ يكون مونومرفيزم.

مبرهنة 4: (نظرية كرول)

لتكن R حلقة غير صفرية ذات عنصر محايد ، فإن كل مثالية فعلية من R محتواة في مثالية عظمى. ومنها أي حلقة غير صفرية R ذات عنصر محايد يوجد فيها مثالية عظمى .

المراجع:

http://en.wikipedia.org/wiki/Maximal_ideal

Thomas W. Hungerford,Algebra

(تحت الإنشاء)

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.