المثالية الأعظمية

The Maximal Ideal

تعريف

نقول عن مثالية M في حلقة R أنها مثالية أعظمية maximal ideal إذا كانت $R \ne M$ وبحيث أنه إذا كانت N مثالية بحيث $M \subset N$ فإن $N = M$ أو $N = R$ .

بعبارة أخرى المثالية M أعظمية إذا كان لا يوجد أي مثالية أخرى تحتويها فعليا سوى R نفسها.

أمثلة

1 . في الحلقة $\mathbb{Z}$ المثالية $(3)$ أعظمية بينما $(4)$ ليست كذلك لأن جزئية فعلية من $(2)$ .

2 . في الحلقة $\mathbb{Z}_6$ مثاليتين أعظميتين فقط هما $(2),(3)$ .

3 . في الحلقة $\mathbb{Z}_{27}$ مثالية أعظمية واحدة فقط وهي $(3)$ .

مبرهنات في المثالية الأعظمية

مبرهنة1: إذا كان $\phi :R \to S$ تشاكل شامل من حلقة R إلى حلقة S وكانت M مثالية أعظمية للحلقة S فإن $\phi ^{ - 1} (M)$ مثالية أعظمية للحلقة R.

إذا لم يكن $\phi$ شاملا فليس من الضروري أن تكون $\phi ^{ - 1} (M)$ مثالية أعظمية للحلقة R . كمثال خذ التشاكل $\phi :\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ والذي يرسل كل عنصر إلى نفسه . $M = \{ 0\}$ مثالية أعظمية للحلقة $\mathbb{Q}$ بينما $\phi ^{ - 1} (M)$ ليست كذلك بالنسبة للحلقة $\mathbb{Z}$ .

مبرهنة2: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد فإن كل مثالية أعظمية M في R هي أولية.

البرهان: افرض أن M أعظمية وأن $ab \in M$ ولكن $a,b \notin M$ . من أعظمية M ينتج أن

$(a) + M = R,\quad (b) + M = R$

وحيث أن $ab \in M$ فإن $(ab) \subset M$ وحيث R إبدالية فإن $(a)(b) \subset (ab)$ انظر المثالية الرئيسية . ولكن R لها محايد إذا $R^2 = R$ وبالتالي

$R = R^2 = ((a) + M)((b) + M) = (ab) + (a)M + (b)M + M^2 \subset M$

وهذا تناقض . إذا $a \in M$ أو $b \in M$ وهذا يثبت أولية M.

ملاحظة

في البرهان لم نستخدم المحايد إلا في ضمان أن $R^2 = R$ لذلك تبقى المبرهنة صحيحة إذا نحن أسقطنا شرط وجود المحايد واستبدل بالشرط $R^2 = R$ .

مبرهنة3: إذا كانت M مثالي من حلقة R إبدالية ذات محايد ( $1_R \ne 0$ ) فإن M مثالي أعظمي إذا وإذا فقط كانت $R/M$ حقلا.

البرهان: إذا كانت M أعظمية فإنها أولية حسب المبرهنة السابقة . إذا $R/M$ حلقة تامة,

[[المثالية الأولية|انظر المثالية الأولية[[ انظر المثالية الأولية . إذا نحتاج فقط أن نبين وجود معكوس لكل عنصر غير صفري $a + M$ من $R/M$ . بما أن $a \notin M$ فإن $(a) + M = R$ لأن $(a) + M$ مثالية تحوي فعليا M . ولكن

$(a) = \{ ra:r \in R\}$

وذلك لأن R إبدالية ذات محايد $1_R$ ولذلك $(a) + M = R$ تقتضي أن $1_R = m + ra$ لبعض m من M و r من R . إذا $1_R - ra \in M$ وبالتالي فإن

$(r + M)(a + M) = ra + M = 1_R + M$

والتي تعني أن $r + M$ معكوس $a + M$ ويثبت أن $R/M$ حقل.

عكسيا, إذا كان $R/M$ حقل فإن $1_R + M \ne M$ . أي أن $1_R \notin M$ ومنه ينتج أن M مثالية فعلية . لنفرض أن N مثالية تحوي فعليا M وليكن $b + M$ معكوس $a + M$ حيث $a \in N\backslash M$ . إذا

$ab + M = (a + M)(b + M) = 1_R + M$

إذا $ab - 1_R \in M \subset N$ . ولكن $ab \in N$ لأن $a \in N$ , إذا $1_R \in N$ والذي يقتضي أن $N = R$ وهذا يثبت أعظمية M.

ملاحظة

طوال برهان الشق الثاني من المبرهنة لم نستخدم إبدالية $R/M$ على الإطلاق, لذلك فإن هذه الجزء فقط من النظرية يبقى صحيحا فيما لو اكتفينا بأن تكون $R/M$ حلقة قسمة ويكون النص في هذه الحالة كما يلي .

نتيجة4: لتكن M مثالي من حلقة R ذات محايد $1_R \ne 0$ . إذا كانت $R/M$ حلقة قسمة فإن M مثالي أعظمي.

وجود المثالية الأعظمية

مبرهنة: إذا كانت $R \ne 0$ حلقة إبدالية ذات محايد فإن المثالية الأعظمية موجودة دائما . في الحقيقة كل مثالية فعلية محتواه في مثالية أعظمية.

في البداية نذكر بما يسمى حقيقة زورن Zorn's Lemma فهي الأساس في البرهان ولها نصوص متعددة ولكن متكافئة نذكر منها المناسب لنا.

حقيقة زورن:إذا كانت $T \ne \emptyset$ مجموعة مرتبة جزئيا بحيث أن كل سلسلة $C \subset T$ لها حد أعلى upper bound فإن T لها على الأقل عنصر أعظمة maximal element واحد على الأقل . السلسلة هي مجموعة جزئية من T مرتبة كليا, بمعنى أن أي عنصرين في C يمكن مقارنتهما ببعض (وفق علاقة الترتيب).

البرهان: لتكن T مجموعة كل المثاليات الفعلية للحلقة R . بالطبع $T \ne \emptyset$ لكونها تحوي المثالية $\{ 0\}$ . من السهل التأكد من أن التجمع T مرتب جزئيا بعلاقة الاحتواء $\subset$ . لنفرض أن $C \subset T$ سلسلة ولتكن

$A = \cup \{ A_\alpha :A_\alpha \in C\}$

نريد الآن إثبات أن A مثالية:

1 . افرض أن $a,b \in A$ . من تعريف A يوجد مثاليتين $A_\alpha ,A_\beta \in C$ بحيث $a \in A_\alpha$ و $b \in A_\beta$ . ولكن C سلسلة لذلك هاتين المثاليتين قابلتين للمقارنة . إذا إحداهما محتواة في الأخرى ولنفرض أن $A_\alpha \subset A_\beta$ . إذا $a - b \in A_\beta \subset A$ .

2 . افرض أن $a \in A$ و $r \in R$ . من تعريف A يوجد مثالية $A_\alpha \in C$ بحيث $a \in A_\alpha$ وبالتالي $ra,ar \in A_\alpha \subset A$ وهذا ينهي إثبات أن A مثالية.المثالية A فعلية لأن خلاف ذلك يقتضي أن $1 \in A$ وهذا سيؤدي إلى وجود $A_\alpha \in C$ بحيث $1 \in A_\alpha$ ومنه $A_\alpha = R$ وهذا مستحيل لان عناصر T مثاليات فعلية.

إذا A مثالية فعلية وهي تمثل حسب تعريفها حد أعلى لعناصر السلسلة C . إذا من حقيقة زورن المجموعة T تملك عنصر أعظمي . إذا R تملك مثالية أعظمية.

نتيجة5: إذا كانت $R \ne 0$ حلقة إبدالية ذات محايد فإن كل مثالية فعلية I في R محتواه في مثالية أعظمية.

البرهان: خذ في الاعتبار التشاكل الطبيعي $\phi :R \to R/I$ حيث $\phi (a) = a + I$ . من المبرهنة السابقة $R/I$ تملك مثالية أعظمية $M/I$ . بالطبع M مثالية في R . بما أن $\phi$ شامل فإن الصورة العكسية $M = \phi ^{ - 1} (M/I)$ مثالية أعظمية حسب مبرهنة أعلاه وهي تحوي I.