المقياس

Measure

إذا كانت $\mathfrak{M}$ عبارة عن $\sigma$ -الجبرا في X فإن الثنائي $(X,\Sigma)$ يسمى فضاء قابل للقياس measurable space أحيانا وللاختصار نقول X فضاء قابل للقياس. كل مجموعة E من $\Sigma$ تسمى مجموعة قابلة للقياس measurable set في X.

المقياس على فضاء قابل للقياس $(X,\Sigma)$ عبارة عن دالة $\mu :\Sigma \to [0,\infty ]$ بحيث
1) $\mu (\emptyset ) = 0$
2) $\mu$ جمعي بقابلية عد countably additive بمعنى إذا كان $\{ E_n \}$ تجمع قابل للعد لمجموعات منفصلة وقابلة للقياس فإن

$\mu \left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } } \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\mu (E_n )}$

نقول عن المقياس $\mu$ أنه منتهي finite إذا كان $\mu (X) < \infty$ ويسمى $\sigma$ - منتهي إذا كانت X اتحاد لتجمع قابل للعد من مجموعات منتهية المقياس. الفضاء القابل للقياس $(X,\Sigma)$ مع المقياس $\mu$ يسمى فضاء مقياس Measure Space ونرمز له بالثلاثي $(X,\Sigma,\mu )$ . نقول عن $(X,\Sigma,\mu )$ فضاء قياس تام complete measure space إذا كانت كل مجموعة جزئية من مجموعة متلاشية المقياس قابلة للقياس, بمعنى آخر

$A \in \Sigma,\;\mu (A) = 0 \Rightarrow B \in \Sigma\;\forall B \subset A$

حقيقة1: ليكن $\mu$ مقياس على الفضاء القابل للقياس $(X,\Sigma)$ عندئذ
1) المقياس $\mu$ جمعي بانتهاء finitely additive بمعنى إذا كانت $E_1 ,E_2 , \ldots ,E_n$ متتابعة منتهية من مجموعات منفصلة قابلة للقياس فإن

$\mu \left( {\bigcup\limits_{k = 1}^n {E_k } } \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {\mu (E_k )}$

2) المقياس $\mu$ يحقق الاطرادية monotonicity بمعنى إذا كانت $E,F \in \Sigma$ فإن

$E \subset F \Rightarrow \mu (E) \leqslant \mu (F)$

3) إذا كانت E ذات مقياس منتهي أي $\mu (E) < \infty$ فإن $\mu (F\backslash E) = \mu (F) - \mu (E)$

البرهان: هذه الخصائص تعميم لخصائص مقياس لوبيج لذلك لن نعيد إثابتها.

حقيقة2: ليكن $\mu$ مقياس على سيجما الجبرا $\Sigma$ عندئذ
1) إذا كانت $(E_n )$ مطردة تزايديا أي $E_n \subset E_{n + 1}$ لكل n فإن

$\mu \left( { \cup _{n = 1}^\infty E_n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mu (E_n )$

2) إذا كانت $(E_n )$ مطردة تناقصيا أي $E_n \supset E_{n + 1}$ لكل n وكان $\mu (E_1 ) < \infty$ فإن

$\mu \left( { \cap _{n = 1}^\infty E_n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mu (E_n )$

البرهان: هذه الخصائص تعميم لخصائص مقياس لوبيج لذلك لن نعيد إثابتها.

ملاحظة: باستخدام خاصية الجمع المنتهي يتضح أن الشرط $\mu (\emptyset ) = 0$ الوارد في تعريف المقياس ليس ضروريا إلا في حالة ما إذا كان $\mu (E) = \infty$ لكل مجموعة قابلة للقياس وغير خالية E. فيما عدا ذلك يمكن استنتاجه من الشرط الثاني فإذا كان لدينا على الأقل مجموعة واحدة E بحيث $\mu (E) < \infty$ فإن من خاصية الجمع المنتهي

$\mu (E) = \mu (E \cup \emptyset ) = \mu (E) + \mu (\emptyset )\; \Rightarrow \mu (\emptyset ) = 0$

أمثلة على المقاييس

الأمثلة المعتبرة على فضاء قياس أو مقياس يحتاج الى كثير من الجهد وهذا ما سنقدمه عند الحديث عن مقياس لوبيج Lebesgue Measure ومجموعات لوبيج القابلة للقياس Lebesgue Measurable Sets أما الآن نكتفي ببعض الأمثلة لمقاييس بسيطة.

مقياس العد Counting Measure: لتكن P مجموعة المجموعات الجزئية من R عرف الدالة N على P كما يلي: $N(E)$ يساوي عدد عناصر المجموعة E إذا كانت E منتهية و $N(E) = \infty$ إذا كانت E غير منتهية. واضح أن N محقق للشرطين الأول والثاني في تعريف المقياس. بالنسبة للشرط الثالث: إذا كان في المتتابعة $(E_n )$ مجموعة $E_k$ غير منتهية أو كان عدد المجموعات الغير خالية في المتتابعة غير منتهي فهو متحقق تلقائيا حيث كلا الطرفين يساوي مالانهاية. لذلك افرض أن كل $E_n$ منتهية وأن هناك k بحيث $E_n = \emptyset$ لكل $n > k$ . بالاستقراء على K ينتج أن

$N\left( {\bigcup\limits_{n = 1}^k {E_n } } \right) = \sum\limits_{n = 1}^k {N(E_n )}$

أي

$N\left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } } \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {N(E_n )}$

المقياس التالي أقل بداهة, ليكن W تجمع للمجموعات الجزئية العدودة (القابلة للعد) من R أو التي مكملتها عدودة. V عبارة عن -الجبرا. عرف الدالة D على W بحيث $D(E) = 0$ إذا كانت E عدودة و $D(E) = 1$ إذا كانت مكملتها $E^c$ عدودة. التجمع W لا يمكن أن يحوي مجموعتين منفصلتين وغير قابلتين للعد,نترك إثبات ذلك للقارئ واستخدامه في إثبات أن D مقياس على $(\mathbb{R},W)$ .

حقيقة3: إذا كانت $f:E \to Y$ دالة معرفة على مجموعة قابلة للقياس E من فضاء قابل للقياس $(X,\Sigma)$ فإن $\Sigma_f$ تشكل -الجبره في Y حيث

$\Sigma_f = \{ A \subset Y:f^{ - 1} (A) \in \Sigma\}$

البرهان: بما أن $f^{ - 1} (Y) = E \in \Sigma$ فإن $Y \in \Sigma_f$ إذا التجمع غير خال. ليكن $A \in \Sigma_f$ إذا $Y\backslash A \in \Sigma_f$ لأن

$f^{ - 1} (Y\backslash A) = f^{ - 1} (Y)\backslash f^{ - 1} (A) = E\backslash f^{ - 1} (A) \in \Sigma$

أيضا إذا كانت $A_n \in \Sigma_f$ حيث $n = 1,2,3, \ldots$ فإن $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n } \in \Sigma_f$ حيث

$f^{ - 1} \left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n } } \right) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {f^{ - 1} (A_n )} \in \Sigma_f$

استنتاج مقياس من مقياس معطى

ليس صعبا إثبات الحقيقة التالية وتتضمن طريقتين لاستنتاج مقياس جديد من مقياس (أو مقاييس) معطاه.

حقيقة4: ليكن $(X,\Sigma )$ فضاء قابل للقياس.
1) إذا كان $\mu$ مقياس على $(X,\Sigma )$ وكانت $A \in \Sigma$ مجموعة ثابتة فإن الدالة $\lambda$ المعرفة على $\Sigma$ بالعلاقة $\lambda (E) = \mu (E \cap A)$ تعتبر مقياس.

2) ) إذا كان $\mu _1 ,\mu _2 , \ldots ,\mu _k$ مقاييس على $(X,\Sigma )$ وكانت $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_k$ أعداد حقيقية غير سالبة فإن الدالة $\mu$ المعرفة على $\Sigma$ بالعلاقة

$\mu (E) = \sum\limits_{j = 1}^k {a_j \mu _j (E)}$

تعتبر مقياس على $(X,\Sigma )$ .

المراجع

R G Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure
P R Halmos, Measure Theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(measure_theory)

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

المقياس

المقياس

Measure

أمثلة على المقاييس

استنتاج مقياس من مقياس معطى

المراجع

التعليقات

شكرا

شكرا كثيرا

(لا موضوع)

عندي سؤال هل الاعداد الغير

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة