متوسطات المثلث

Medians of Triangle

$medians$

المتوسط median في مثلث هو قطعة مستقيمة تربط ما بين الرأس في مثلث ومنتصف الضلع المقابل له. لكل مثلث ثلاثة متوسطات تتقاطع في نقطة واحدة P تسمى centroid. وكل متوسط يقسم المثلث الى مثلثين متساويين في المساحة حيث لهما نفس الارتفاع وقاعدتين متساويتين في الطول.

إذا كان المثلث ABC أطوال أضلاعه a,b,c فإن أطوال المتوسطات $m_a ,m_b ,m_c$ تعطى كما يلي:

$\begin{array}{l}m_a = \frac{1}{2}\sqrt {2b^2 + 2c^2 - a^2 } \\m_b = \frac{1}{2}\sqrt {2c^2 + 2a^2 - b^2 } \\m_c = \frac{1}{2}\sqrt {2a^2 + 2b^2 - c^2 } \\\end{array}$

لرؤية ذلك افرض لدينا المتوسط النازل من A وينصف الضلع BC في D. افرض أن طوله يساوي $m_a$ . ولتكن $\angle ADC = \theta$ . من قانون الجيوب لدينا

$\begin{array}{l}b^2 = m_a ^2 + (a/2)^2 - 2m_a (a/2)\cos \theta \\c^2 = m_a ^2 + (a/2)^2 + 2m_a (a/2)\cos \theta \\\end{array}$

بالجمع ثم الترتيب

$b^2 + c^2 = 2m_a ^2 + a^2 /2 \Rightarrow 2m_a ^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$

خذ الجذر التربيعي لنحصل على قانون طول المتوسط

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt {2b^2 + 2c^2 - a^2 }$

متوسطات المثلث تلتقي في نقطة واحدة P تبعد عن أي رأس في المثلث مسافة تعادل ثلثي طول المتوسط المرسوم منه. النقطة P تسمى مركز الثقل center of mass وسبب ذلك أننا لو وضعنا ثلاث كتل متساوية عند رؤوس المثلث فإن مركز الثقل سيكون عند P.

نثبت الآن التقاء المتوسطات في نقطة واحدة تبعد عن كل رأس مسافة قدرها ثلثي طول المتوسط النازل من ذلك الرأس.

$medians2$

في الشكل المتوسطين, BE, CF.

المستقيم EF يوازي BC , وكذلك طول EF يساوي نصف طول BC.

ارسم G,H منتصفي في منتصفي المتوسطين. أيضا

المستقيم GH يوازي BC وكذلك طول GH يساوي نصف طول BC.

إذا الشكل GHEF متوازي اضلاع. إذا قطراة يقطع كل منهما الآخر في المنتصف. إذا P تبعد ثلثي $m_b$ عن النقطة B وثلثي $m_c$ عن النقطة C.

بنقاش مماثل على المتوسطين CF, AD المتقاطعان في نقطة سمها Q أن Q تبعد ثلثي $m_a$ عن النقطة A وثلثي $m_c$ عن النقطة C. إذا P=Q ويثبت المطلوب.

مساحة المثلث ومتوسطاته

تعطى مساحة مثلث بدلالة أطوال متوسطاته r,s,t وفق القانون

$Area =\frac{4}{3}\sqrt {s_m (s_m - m_a )(s_m - m_b )(s_m - m_c )}$

وهو مشابه لحد كبير صيغة هيرون في مساحة المثلث , حيث

$s_m=\frac{{m_a + m_b + m_c }}{2}$

عندما نكون مثلث آخر XYZ اضلاعه لها أطوال متوسطات المثلث ABC فإن مساحة XYZ تساوي ثلاثة أرباع مساحة ABC. ابدأ بتكوين المثلث XYZ برسم قطعتين من طرفي أحد المتوسطات بحيث تطابقان وتوازيان المتوسطين الآخرين. أحد اضلاع هذا المثلث ABC يمر بمنتصف أحد اضلاع XYZ , ناقش المساحة واستنتج العلاقة بين المساحتين.

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$