الموديول

Module

تعريف: لتكن R حلقة. الموديول الأيمن على R (أو الـ R- موديول الأيمن ) هو مجموعة غير خالية M مع عمليتين ، العملية الأولى معرفة على M وتُكون معها زمرة إبدالية وتسمى هذه العملية عملية الجمع، والعملية الثانية تسمى تأثير R على M ( أو عملية الضرب الموديولي أو القياسي)

$\begin{array}{l}M\times R\to M\\\left({m,r}\right)\mapsto mr\\\end{array}$

نرمز إلى صورة العنصر $\left({m,r}\right)$ بالرمز $mr$ ، هذه العملية تحقق الآتي لكل $m,m_1,m_2\in M\;,\;r,r_1,r_2\in R$ :

1) $\left({mr_1}\right)r_2=m\left({r_1 r_2}\right)$
2) $\left({m_1+m_2}\right)r=m_1 r+m_2 r$
3) $m\left({r_1+r_2}\right)=mr_1+mr_2$

* إذا كان بالإضافة إلى ماسبق R ذات عنصر محايد والشرط الآتي متحقق
4) $m1_R=m\quad ,\forall m\in M$
فإن M يسمى موديول أيمن وحدوي على R.

* الموديول الإيسر(الوحدوي) على R يعرف بنفس الطريقة من خلال الدالة^[م]

$\begin{array}{l}R\times M\to M\\\left({r,m}\right)\mapsto rm\\\end{array}$

بحيث تحقق علاقات مناظرة لـ 1) ، 2) ، 3) وَ 4)

ترميز: نرمز للموديول الأيمن M على الحلقة R بالرمز $M=M_R$ ، وللموديول الإيسر M على R بالرمز $M={}_RM$

خصائص:

* لزمرة إبدالية معطاة M يمكن تعريف أكثر من موديول على حلقة R ( أيمن أو أيسر) .

* إذا كانت R حلقة إبدالية فإنه من السهل إثبات أن كل موديول $M_R$ يناظره موديول ${}_RM$ معرف كالآتي $mr=rm\quad ,\forall m\in M,r\in R$ .

* لتكن $M=M_R$ فإنه $\forall a,m\in M,r\in R,n\in\mathbb{Z}^+$
(i) $r0_M=0_M$

(ii) $0_R m=0_M$

(iii) $\left({- r}\right)m=-\left({rm}\right)=r\left({ - m}\right)$

(iv) $n\left({ra}\right)=r\left({na}\right)$

أمثلة :

1) كل زمرة إبدالية G تكون موديول أيمن (وأيسر) وحدوي على $\mathbb{Z}$ بحيث إذا كان n عدد موجب فإن $an=a+a+\cdots +a$ وعملية الجمع مكررة n مرة،وإذا كان عدد سالب $an=\left({-a}\right)+\left({-a}\right)+\cdots+\left({-a}\right)$ مكررة $-n$ مرة ، و $a0=0_G$ .

2) إذا كانت S حلقة وR حلقة جزئية منها فإن S موديول أيمن ( وأيسر ايضا) على R بتعريف عملية الضرب الموديولي هو نفسه عملية الضرب في S . وكحالة خاصة فإن كلا من $R\left[ x\right]$ و $R\left[{x_1,x_2,\cdots ,x_m}\right]$ موديول على R.

3) إذا كان I مثالي إيمن في الحلقة R فإن I يكون موديول أيمن مع عملية الضرب الموديولي هي نفسها عملية الضرب في R . وكحالة خاصة فإن كلا من R و $0$
موديول على .R
بالإضافة إلى ذلك حيث أن I زمرة جمع جزئية من R ومنها ${R\mathord{\left/{\vphantom{R I}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}I}$ زمرة جمع إبدالية و ${R\mathord{\left/{\vphantom{R I}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}I}$ تكون موديول على R بتعريف عملية الضرب الموديولي كالآتي

$r\left({r_1+ I}\right) = rr_1+I\quad ,\forall r,r_1\in R$

4) لتكن R و S حلقتين و $R\to S$ تشاكل حلقي، فإنه إذا كان $M=M_S$ فإن $M=M_R$ وذلك بتعريف الضرب الموديولي كالآتي

$xr= x\psi\left(r\right)\quad ,\forall r\in R,x\in M$

المراجع:

F.Kasch , Modules and Rings

Thomas W. Hungerford,Algebra

(تحت الإنشاء)

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.