تعريف الحلقية

Module

مقدمة

لديك حلقة R. تعتبر الحلقية على R (R-module) تعميم لمفهوم الفضاء الاتجاهي وتقوم الحلقة وعناصرها مقام الحقل في الفضاء الإتجاهي, ومن جهة أخرى الحلقية تعميم لمفهوم الزمرة الإبدالية حيث كل زمرة إبدالية هي حلقية على $\mathbb{Z}$ كما سنرى. بما أن الحلقية تعميم للفضاء الإتجاهي من الطبيعي أن نجد نظريات مشابهة لتك في الفضاء الإتجاهي ولكن في نفس الوقت يجب أن يحذر القارئ من هذا التشابه لكي لا يقع في تعميمات خاطئة إذا أن هناك فوارق. على سبيل المثال قد لا يكون للحلقية أساس بعكس الفضاء الاتجاهي حيث يوجد أساس لكل فضاء إتجاهي. أيضا من الفوارق الدقيقة التي ربما لا ينتبه لها أنه إذا امتلكت حلقية ما أساسين فليس بالضرورة أن يكون لهما نفس العدد من العناصر, طبعا هذا غير حاصل في أي الفضاءات الإتجاهية حتى لو كانت غير منتهية الأبعاد. على كل حال تحت شروط معينة (غالبا ما تكون قاسية) على الحقل R نستطيع الوصول بالحلقية لوضع بنيوي جبرى مقارب لما هو عليه الفضاء الإتجاهي.

تعريف الحلقية

تعريف (الحلقية) : لتكن R حلقة ذات محايد. الحلقية (اليسرى) على R هي زمرة إبدالية جمعية M additive abelian group مع دالة $R \times M \to M$ (حيث تكتب صورة $(r,a)$ بالشكل $ra$ ويسمى الضرب العدديscalar multiplication) بحيث أنه لأي $a,b \in M$ و $r,s \in R$ تتحقق الشروط التالية:

$\begin{array}{*{20}c} {i)} \hfill & {r(a + b) = ra + rb} \hfill \\ {ii)} \hfill & {(r + s)a = ra + sa} \hfill \\ {iii)} \hfill & {r(sa) = (rs)a} \hfill \\ {iv)} \hfill & {1a = a} \hfill \\ \end{array}$

الحلقية اليمنى على حلقة R تعرف بطريقة مشابهة عن طريق الدالة $M \times R \to M$ وتكتب صورة $(a,r)$ بالشكل $ar$ ويكون الضرب العددي مؤثر من جهة اليمين. في بعض الأحيان يشار للحلقية اليمنى M على R بالرمز $M_R$ وللحلقية اليسرى بالرمز ${}_RM$ .

نرمز لحلقية يمنى M على الحلقة R بالرمز $M=M_R$ ، ولحلقية يسرى M على R بالرمز $M={}_RM$ . سنقتصر مناقشتنا للحلقيات على اليسرى لذلك سنستخدم دائما المصطلح "حلقية" ليعني "حلقية يسرى" ما لم يذكر خلاف ذلك صراحة. بطبيعة الحال, كل نظرية تتعلق بالحلقيات اليسرى تقابلها أخرى مماثلة للحلقيات اليمنى.

ملاحظة: البعض من المراجع لا تشترط وجود المحايد في الحلقة وتستبعد الشرط $iv$ من تعرف الحلقية وتسمي الحلقية التي عرفناها أعلاه بالحلقية الواحدية unital أو unitary. على كل حال التعريف الذي المقدم هنا هو الغالب في المراجع الحديثة. أيضا فيما يتعلق بالجانب البنائي فإن وجود محايد في R إلى جانب الشرط $iv$ يمكن من كتابة عناصر أنواع معينة من الحقليات الجزئية بشكل أبسط. على سبيل المثال أصغر حلقية جزئية N من حلقية M تحتوي على العنصر $a \in M$ تكون وفقا للتعريف الثاني على الشكل

$\{ ra + na:r \in R,n \in \mathbb{Z}\}$

بينما وفق التعريف الأول (المعتمد هنا) تكون على الشكل

$\{ ra:r \in R\}$

نتائج مباشرة من التعريف

1) إذا كانت R حلقة إبدالية من السهل التحقق من أن كل حلقية يسرى ${}_RM$ على R يمكن أن تعطى بناء لحلقية يمنى $M_R$ وذلك بتعريف $ra = ar$ حيث $r \in R$ و $a \in M$ . إبدالية R نحتاجها في الشرط $iii)$ .

2) لتكن M حلقية على R. لكل $r \in R$ الدالة $f_r$ المعرفة بالقانون $f_r (a) = ra$ تشاكل زمري على M. هذا ناتج مباشر من الشرط $i)$ . كذلك إذا جعلنا $f(r) = f_r$ فإن f تشاكل حلقي من R إلى حلقة التشاكلات الداخلية endomorphism ring للزمرة M.

3) كل زمرة إبدالية G تكون حلقية يمنى (أو يسرى) على $\mathbb{Z}$ بحيث إذا كان n عدد موجب فإن $an=a+a+\cdots +a$ وعملية الجمع مكررة n مرة،وإذا كان n عدد سالب $an=\left({-a}\right)+\left({-a}\right)+\cdots+\left({-a}\right)$

مكررة $\left| n \right|$ مرة ، و $a0=0_G$ .

أمثلة على الحلقيات

1) كل زمرة إبدالية A هي حلقية على $\mathbb{Z}$ وهذا يتم بشكل طبيعي حيث أن لكل $a \in A$ و $n \in \mathbb{Z}$ فإن

$na = a + a + \cdots + a\quad (n\;{\rm{times)}}$

2) كل حلقة R حلقية على نفسها, حيث عملية الضرب العددي $ra$ هي عملية الضرب في الحلقة, من السهل التحقق من أن هذه العملية تحقق الشروط للحلقية. وبشكل عام الجداء الديكارتي $R^n$ للحلقة R يعتبر حلقية على R حيث $r(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_k ) = (ra_1 ,ra_2 , \ldots ,ra_k )$ عملية الضرب العددي.

3) إذا كانت I مثالية يسرى من حلقة R فإن I حلقية حيث $R \times I \to I$ معرف باستخدام عملية الضرب في الحلقة R. كذلك $R/I$ حلقية على R حيث التحويل $R \times R/I \to R/I$ معرف كما يلي

$r(a + I) = ra + I$

هذا تعريف جيد , بمعنى مستقل عن الممثل a. لرؤية ذلك افرض أن $a,a' \in R$

بحيث $a + I = a' + I$ . إذا $ra - ra' = r(a - a') \in I$ لأن $a - a' \in I$ وبالتالي $ra + I = ra' + I$ .

4) إذا كان V فضاء متجه على حقل K فإن V حلقية على K.

5) إذا كانت S حلقة وR حلقة جزئية منها فإن S حلقية يمنى ( حلقية يسرى) على R بتعريف عملية العددي على أنها نفس عملية الضرب في S . وكحالة خاصة فإن كلا من $R \left[ x \right]$ و $R \left[ {x_1,x_2,\cdots ,x_m} \right]$ موديول على R.

6) إذا كان I مثالي إيمن في الحلقة R فإن I يكون حلقية يمنى وعملية الضرب العددي هي نفسها عملية الضرب في R . وكحالة خاصة فإن كلا من R و $0$ موديول على R. بالإضافة إلى ذلك حيث أن I زمرة جمع جزئية من R ومنها ${R \mathord{\left/{\vphantom{R I}} \right.\kern-\nulldelimiterspace}I}$ زمرة جمع إبدالية و ${R \mathord{\left/{\vphantom{R I}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}I}$ تكون حلقية على R بتعريف عملية الضرب العددي كالآتي

$r\left({r_1+ I}\right) = rr_1+I\quad ,\forall r,r_1\in R$

7) لتكن R و S حلقتين و $\psi :R\to S$ تشاكل حلقي، فإنه إذا كان $M=M_S$ فإن $M=M_R$ وذلك بتعريف الضرب الموديولي كالآتي

$xr= x\psi \left(r\right)\quad ,\forall r\in R,x\in M$

حقيقة1: إذا كانت M حلقية على R وكان $0_m$ صفر M و $0_R$ صفر R فإنه لأي $a \in M,\;r \in R$ لدينا

$\begin{gathered} 1) \quad r0_m = 0_m \hfill \\ 2)\quad 0_R a = 0_m \hfill \\ 3)\quad ( - r)a = r( - a) = - (ra) \hfill \\ \end{gathered}$

البرهان:

$\begin{array}{l} 1) \quad r0_m = r(0_m + 0_m ) = r0_m + r0_m \Rightarrow r0_m = 0_m \\ 2) \quad 0_R a = (0_R + 0_R )a = 0_R a + 0_R a\;\; \Rightarrow 0_R a = 0_m \\ \end{array}$