نتائج نظرية التقارب المطرد


Monotone Convergence Theorem Conaequnces

 

جمعنا هنا أهم نتائج النظرية الشهيرة , نظرية التقارب المطرد MCT.

نتيجة1: إذا كانت f,g \in M^ + (X,\Sigma ) و 0 \le c < \infty فإن cf,\;f + g \in M^ + (X,\Sigma ) كما أن

\begin{array}{l} c\int_E {fd\mu } = \int_E {cfd\mu } \\ \int {(f + g)d\mu } = \int {fd\mu } + \int {gd\mu } \\ \end{array}

البرهان: نعلم أن cf,\;f + g قابلتين للقياس وواضح أنهما غير سالبتي القيمة. ليكن 0 \le c < \infty . إذا c\phi \le cf إذا وإذا فقط \phi \le f وحيث \int {c\phi d\mu } = c\int {\phi d\mu } لأي دالة بسيطة موجبة قابلة للقياس \phi فإن

\int {cfd\mu } = \mathop {\sup }\limits_{\phi \le f} \int {c\phi d\mu } = c\mathop {\sup }\limits_{\phi \le f} \int {\phi d\mu } = c\int {fd\mu }

لتكن (\phi _n ),\;(\psi _n ) متتابعتين تزايديتين لدوال بسيطة متقاربة إلى f,g تواليا. إذا \phi _n + \psi _n متتابعة دوال بسيطة متقاربة إلى f + g. من نظرية التقارب المطرد وخواص تكامل الدوال البسيطة نجد أن

\begin{array}{*{20}c} {\int {(f + g)d\mu } } \hfill & { = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {(\phi _n + \psi _n )d\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\phi _n d\mu } + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\psi _n d\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {fd\mu } + \int {gd\mu } } \hfill \\\end{array}


نتيجة2: إذا كانت (f_n ) متتابعة في M^ + (X,\Sigma ) بحيث أن f(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {f_n (x)} فإن

\int {fd\mu } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int {f_n d\mu } } =

البرهان: اجعل g_n = f_1 + f_2 + \cdots + f_n . من نتيجة1 لدينا

\int {g_2 d\mu } = \int {(f_1 + f_2 )d\mu } = \int {f_1 d\mu } + \int {f_2 d\mu }

وباستخدام الاستقراء الرياضي ينتج مباشرة أن

\int {g_n d\mu } = \sum\limits_{k = 1}^n {\int {f_k d\mu } }

المتتابعة (g_n ) المتقاربة إلى f حسب المعطى مطردة تزايديا. إذا بتطبيق نظرية التقارب المطرد نجد أن

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {g_n d\mu } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\int {f_k d\mu } } = \int {fd\mu }

النتيجة التالية عبارة عن تعميم لنتيجة سبق البرهنة على صحتها في حالة الدوال البسيطة القابلة للقياس.

نتيجة3: لتكن f \in M^ + (X,\Sigma ). عرف \lambda (E) = \int_E {fd\mu } . الدالة \lambda مقياس على \Sigma كما أن

\int {gd\lambda } = \int {gfd\mu }

البرهان: بما أن f \ge 0 فإن \int_E {fd\mu } \ge \int_E {0d\mu } = 0. إذا \lambda (E) \ge 0 لكل E قابلة للقياس. لتكن E = \emptyset عندئذ f\chi _E متلاشية على كامل X وبالتالي \lambda (\emptyset ) = 0. لإثبات أن \lambda جمعية بقابلية عد افرض أن (E_n ) متتابعة مجموعات منفصلة وقابلة للقياس. أجعل E = \cup E_n . إذا

f\chi _E (x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {f\chi _{E_n } (x)}

من النتيجة2 لدينا

\int {f\chi _E d\mu } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int {f\chi _{E_n } d\mu } }

أي أن \lambda ( \cup E_n ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\lambda (E_n )} وهذا يكمل إثبات أن \lambda مقياس.

بالنسبة للجزء المتبقي من النتيجة نثبت صحته أولا بالنسبة للدوال البسيطة الموجبة. افرض أن لدينا الدالة البسيطة القابلة للقياس

\phi (x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } } (x)

إذا

\int {\phi d\lambda } = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \lambda (E_i )} = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \int_{E_i } {fd\mu } } = \sum\limits_{i = 1}^n {\int {\alpha _i f\chi _{E_i } d\mu } } = \int {\phi fd\mu }

البرهان: لتكن (\phi _n ) متتابعة تزايدية لدوال بسيطة متقاربة إلى g. إذا (\phi _n f) متتابعة تزايدية متقاربة إلى gf. بتطبيق نظرية التقارب المطرد نجد أن

\begin{array}{*{20}c} {\int {gd\lambda } } \hfill & { = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\phi _n d\lambda } } \hfill \\ {} \hfill & { = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\phi _n fd\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {gfd\mu } } \hfill \\\end{array}

عكس هذه النتيجة صحيح, وهو ما تقرره نظرية رادون-نيكوديم Radon-Nikodym Theorem.

 

مراجع

 

التعليقات

علِّق

  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق