نظرية ذات الحدود

Multinomial Theorem

إذا كان n عدد صحيح غير سالب وكان m عدد صحيح موجب فإن

$\left( {x_1 + x_2 + \ldots + x_m } \right)^n = \sum\limits_{\scriptstyle k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \ge 0 \hfill \atop \scriptstyle k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n \hfill} {\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right)x_1^{k_1 } x_2^{k_2 } \ldots x_m^{k_m } }$

كما هو مبين, الجمع يسرى على كل الأعداد الغير سالبة $k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m$ والتي مجموعها n وفي بعض الأحيان تنازل عن ذكر هذه الشروط في علامة السيجما ونكتب النظرية بالشكل المختصر

$\left( {x_1 + x_2 + \ldots + x_m } \right)^n = \sum\limits_{k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m } {\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right)x_1^{k_1 } x_2^{k_2 } \ldots x_m^{k_m } }$

حيث

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_m \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k_1 !k_2 ! \ldots k_m !}}$

وتسمى معاملات ذات الحدود. انظر موضوع التوافيق المعممة.

كتطبيق مباشر لنظرية ذات الحدين

$\left( {x + y + z} \right)^2 = \sum\limits_{k_1 ,k_2 ,k_3 } {\left( \begin{array}{c} 2 \\ k_1 ,k_2 ,k_3 \\ \end{array} \right)x^{k_1 } y^{k_2 } z^{k_3 } } = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$

برهان نظرية ذات الحدود

سنثبت النظرية باستخدام نظرية ذات الحدين والاستقراء الرياضي على m مع إبقاء n ثابتة.

خطوة الأساس: عندما m=1 فإن $x_1 ^n = x_1 ^n$ .

خطوة الفرض: افرض صحة نظرية متعددة الحدود عند m.

خطوة الاستقراء: عند m+1 لدينا

$\begin{array}{l} (x_1 + x_2 + \cdots + x_m + x_{m + 1} )^n = (x_1 + x_2 + \cdots + (x_m + x_{m + 1} ))^n \\ = \sum\limits_{k_1 + k_2 + \cdots + k_{m - 1} + K = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_{m - 1} ,K \\ \end{array} \right)} x_1^{k_1 } x_2^{k_2 } \cdots x_{m - 1}^{k_{m - 1} } (x_m + x_{m + 1} )^K \\ \end{array}$

وذلك من الفرض. طبق ذات الحدين على $(x_m + x_{m + 1} )^K$ , إذا

$= \sum\limits_{k_1 + k_2 + \cdots + k_{m - 1} + K = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_{m - 1} ,K \\ \end{array} \right)} x_1^{k_1 } x_2^{k_2 } \cdots x_{m - 1}^{k_{m - 1} } \sum\limits_{k_m + k_{m + 1} = K} {\left( \begin{array}{c} K \\ k_m ,k_{m + 1} \\ \end{array} \right)} x_m^{k_m } x_{m + 1}^{k_{m + 1} }$

تذكر أن $\left( \begin{array}{c} K \\ k_m ,k_{m + 1} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} K \\ k_m \\ \end{array} \right)$ , انظر التوافيق المعممة.

بانجاز الضرب في الطرف الأيمن مع استخدام العلاقة

$\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_{m - 1} ,K \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} K \\ k_m ,k_{m + 1} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_{m - 1} ,k_m ,k_{m + 1} \\ \end{array} \right)$

نصل الى

$= \sum\limits_{k_1 + k_2 + \cdots + k_{m - 1} + k_m + k_{m + 1} = n} {\left( \begin{array}{c} n \\ k_1 ,k_2 , \ldots ,k_{m - 1} ,k_m ,k_{m + 1} \\ \end{array} \right)} x_1^{k_1 } x_2^{k_2 } \cdots x_{m - 1}^{k_{m - 1} } x_m^{k_m } x_{m + 1}^{k_{m + 1} }$

وتثبت النظرية.

مثال: اوجد معامل $x^9$ في منشور المقدار $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )^4$ .

الحل: نعتمد على الحقيقة التوافقية التالية:
معامل $x^r$ في $(1 + x + x^2 + \cdots )^n$ هو $\left( \begin{array}{c} n + r - 1 \\ r \\ \end{array} \right)$

مسألتنا تتعلق بقوة لكثيرة حدود بينما النظرية تتعلق بمتسلسلة قوى ومع ذلك يمكننا الإفادة منها. تذكر

$\begin{array}{l} 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{{1 - x^6 }}{{1 - x}} = (1 - x^6 )\frac{1}{{1 - x}} \\ = (1 - x^6 )(1 + x + x^2 + \cdots ) \\ \end{array}$

إذا بالرفع للقوة 4 :

$\begin{array}{l} (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )^4 = (1 - x^6 )^4 (1 + x + x^2 + \cdots )^4 \\ = (1 - \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \\ \end{array} \right)x^6 + \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ \end{array} \right)x^{12} - \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \\ \end{array} \right)x^{18} + x^{24} )(1 + x + x^2 + \cdots )^4 \\ \end{array}$

واضح الآن أن القوة التاسعة $x^9$ لا تنتج إلا من حاصل ضرب الحدين $- 4x^6 ,\;1$ من القوس الأول في الحدين اللذين لهما القوة $x^9$ و $x^3$ من الحد الثاني على الترتيب. إذا يجب إيجاد معاملات $x^9$ و $x^3$ باستخدام الحقيقة السابقة. معامل $x^9$ في القوس الثاني يساوي

$\left( \begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ \end{array} \right) = \frac{{12 * 11 * 10}}{{3 * 2 * 1}} = 220$