المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث

1) نظرية

أ) في أي مثلث المستقيم المار من منتصفي ضلعين يكون موازيا للضلع الثالث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين = نصف طول الضلع الثالث

ب) في أي مثلث المستقيم المار من منتصف ضلع وموازي لضلع آخريقطع الضلع الثالث في منتصفه

$المستقيم المار في منتصف ضلعين$

البرهان:

أ)ليكن K صورة I بالتناظر المركزي الذي مركزه J

الرباعي AICK متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في منتصفيهما وبالتالي $(AI)//(KC),AI = KC \Rightarrow (IB)//(KC),IB = KC$

ومنه IBCK متوازي أضلاع وبالتالي $(IJ)//(BC),IJ = \frac{1}{2}IK = \frac{1}{2}BC$

ب) ليكن D المستقيم المار من I والموازي ل (BC)

من أ) نستنتج أن (IJ) موازي ل (BC) وبالتالي $(IJ)//D$ وبما أن I نقطة مشتركة بين المستقيمين إذن المستقيمان متطابقان و D يمر من J

$المستقيم المار في منتصف ضلعين$

ملاحظة

هناك على الأقل ثلاثة براهين أخرى لهذه النظرية لمن أراد أن يفكر

تمرين1

ليكن ABCD شكل رباعي و E منتصف [AC]

المستقيم الموازي للمستقيم (AB) والمار من من E يقطع المستقيم (BC) في F

المستقيم الموازي للمستقيم (AD) والمار من من E يقطع المستقيم (CD) في G

أثبت أن المستقيمين (BD) و (FG) متوازيان

تمرين2

ليكن ABCD شكل رباعي بحيث منتصف [AB] هو النقطة I ، منتصف [BC] هو النقطة J ، منتصف [CD] هو النقطة K و منتصف [AD] هو النقطة L

1)أثبت أن IJKL متوازي أضلاع

2) ماذا يجب أن يتحقق في الرباعي ABCDكي يكون IJKL معين؟

3)ماذا يجب أن يتحقق في الرباعي ABCDكي يكون IJKL مستطيل؟

4)ماذا يجب أن يتحقق في الرباعي ABCDكي يكون IJKL مربع؟

تمرين3

ليكن ABC مثلث و I,J على التوالي منتصفي [AB] , [AC]

المستقيم (BJ) يقطع المستقيم (CI) في النقطة D

لتكن النقطة E صورة النقطة D بالتناظر المركزي الذي مركزه I

لتكن النقطة F صورة النقطة D بالتناظر المركزي الذي مركزه J

1) أثبت أن ADCF , ADBE مواتزيي الأضلاع

2) استنتج أن BCFE متوازي أضلاع

3) أثبت أن D منتصف [CE] ثم استنتج أن (AD) يقطع [BC] في منتصفه (K)

5) احسب : $\frac{{AD}}{{AK}},\frac{{CD}}{{CI}},\frac{{BD}}{{BJ}}$

المرجع :http://www.univ-lemans.fr/~benard/pages_eleves/GEO/PROP4/PRO4002.HTML

ابحث