المتجانسة والتي تتحول الى متجانسة

الكاتب Muhanad

المعادلة التفاضلية المتجانسة.

تــعــريــف: التابع $f(x,y)$ أنه متجانس من الدرجة $k$ إذا كان :

$\forall\lambda\in\mathbb{R}\quad\Rightarrow\quad f(\lambda x,\lambda y) =\lambda ^k .f(x,y)$

تــعــريــف: نقول عن المعادلة التفاضلية $p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$ أنها متجانسة من الدرجة $k$ إذا كان كل من التابعين $p,q$ متجانسان من الدرجة $k$ .

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة .

$p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$

نفرض أنّ : $y = z.x$ .وبالتالي نجد أنّ:

$\begin{array}{l}\\ y = z.x\quad\Rightarrow\quad dy = z.dx + xdz\\ \\ p\left( {x,z.x}\right)dx + q\left( {x,z.x}\right).\left( {z.dx + xdz}\right) = 0\Leftrightarrow\\ \\ x^k\left[ {\left( {\;p\left( {1,z}\right) +z. q\left( {1,z}\right)\;}\right)dx\; +\;x.q\left( {1,z}\right)dz}\right] = 0\\ \end{array}$

وهذه المعادلة قابلة للفصل ... وتصبح مفصولة المتحولات على الشكل :

$\frac{1}{x}dx +\frac{{q\left( {1,z}\right)}}{{\;p\left( {1,z}\right) +z. q\left( {1,z}\right)\;}}dz = 0$

بشرط : $x.\left( {\;p\left( {1,z}\right) + z.q\left( {1,z}\right)\;}\right)\ne 0$

ونحصل على الحل العام بالمكاملة المباشرة وبالتالي:

$\int {\frac{1}{x}dx} +\int {\frac{{q\left( {1,z}\right)}}{{\;p\left( {1,z}\right) + z.q\left( {1,z}\right)\;}}} dz = C$

والحلول الشاذة إن وجدت تحقق $x.\left( {\;p\left( {1,z}\right) + q\left( {1,z}\right)\;}\right) = 0$

أمــثــلة وحــــالات خــــاصــــــة :

1: المعادلة من الشكل $y' = f\left( {\frac{y}{x}}\right)$

هي حالة خاصة من الحالة السابقة . حيث أننا لحلها سنفرض أن $y = z.x\quad\Rightarrow\quad y' = z + x.z'$
والحل العام يكون :

$\int {\frac{{dz}}{{f(z) - z}} =\ln\left| x\right| + c}$

والحلول الشاذة إن وجدت تحقق $f(z) - z = 0$

2: المعادلة من الشكل $y' = f\left( {ax + by + c}\right)$
وهذه المعادلة ليست متجانسة لكن لحل هذه المعادلة نقوم بفرض ${\rm{z = ax + by + c}}$

فتتحول المعادلة إلى الشكل :
$\begin{array}{l}{\rm{b}}\ne {\rm{0}}\\ {\rm{z = ax + by + c}}\quad\Rightarrow {\rm{z' = a + by'}}\quad\Rightarrow {\rm{y' = }}\frac{{{\rm{z' - a}}}}{{\rm{b}}}\Rightarrow\\ \\ z' = b.f(z) + a\\ \end{array}$

والمعادلة الأخيرة هي معادلة قابلة للفصل وحلها سهل.

3: المعادلة من الشكل $y' = f\left( {\frac{{ax + by + c}}{{dx + ey + g}}}\right)$

في هذه الحالة ننتبه الى وضع المستقيمين

${\rm{S1:}}\quad {\rm{ax + by + c = 0}}\quad\quad {\rm{\& }}\quad\quad {\rm{S2:}}\quad {\rm{dx + ey + g = 0}}$

إذا كانا متقاطعان ولتكن نقطة تقاطعهما ${\rm{(x}}_{\rm{0}} ,y_0 )$

نقوم الأن بسحب الأحداثيات إلى نقطة التقاطع أي نقوم بالتحويل التالي:
$X = x - x_0\quad\&\quad Y = y - y_0$

فتتحول المعادلة إلى الشكل التالي:
$Y' = f\left( {\frac{{aX + bY}}{{dX + eY}}}\right)$

وهي معادلة متجانسة يمكننا تحويلها إلى الشكل الأول :
$Y' = f\left( {\frac{{aX + bY}}{{dX + eY}}}\right) = f\left( {\frac{{a + b\frac{Y}{X}}}{{d + e\frac{Y}{X}}}}\right) =\tilde f\left( {\frac{Y}{X}}\right)$
إذا كانا موازيان نحول المعادلة من خلال تقسيم البسط على المقام إلى الشكل :

$y' =\tilde f\left( {ax + by + c}\right)$