المتجانسة والتي تتحول الى متجانسة

الكاتب Muhanad

المعادلة التفاضلية^[م] المتجانسة.

تــعــريــف: التابع $f(x,y)$ أنه متجانس من الدرجة $k$ إذا كان :

$\forall\lambda\in\mathbb{R}\quad\Rightarrow\quad f(\lambda x,\lambda y) =\lambda ^k .f(x,y)$

تــعــريــف: نقول عن المعادلة التفاضلية^[م] $p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$ أنها متجانسة من الدرجة $k$ إذا كان كل من التابعين $p,q$ متجانسان من الدرجة $k$ .

حل المعادلة التفاضلية^[م] المتجانسة .

$p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$

نفرض أنّ : $y = z.x$ .وبالتالي نجد أنّ:

$\begin{array}{l}\\ y = z.x\quad\Rightarrow\quad dy = z.dx + xdz\\ \\ p\left( {x,z.x}\right)dx + q\left( {x,z.x}\right).\left( {z.dx + xdz}\right) = 0\Leftrightarrow\\ \\ x^k\left[ {\left( {\;p\left( {1,z}\right) +z. q\left( {1,z}\right)\;}\right)dx\; +\;x.q\left( {1,z}\right)dz}\right] = 0\\ \end{array}$

وهذه المعادلة قابلة للفصل ... وتصبح مفصولة المتحولات على الشكل :

$\frac{1}{x}dx +\frac{{q\left( {1,z}\right)}}{{\;p\left( {1,z}\right) +z. q\left( {1,z}\right)\;}}dz = 0$

بشرط : $x.\left( {\;p\left( {1,z}\right) + z.q\left( {1,z}\right)\;}\right)\ne 0$

ونحصل على الحل العام بالمكاملة المباشرة وبالتالي:

$\int {\frac{1}{x}dx} +\int {\frac{{q\left( {1,z}\right)}}{{\;p\left( {1,z}\right) + z.q\left( {1,z}\right)\;}}} dz = C$

والحلول الشاذة إن وجدت تحقق $x.\left( {\;p\left( {1,z}\right) + q\left( {1,z}\right)\;}\right) = 0$

أمــثــلة وحــــالات خــــاصــــــة :

1: المعادلة من الشكل $y' = f\left( {\frac{y}{x}}\right)$

هي حالة خاصة من الحالة السابقة . حيث أننا لحلها سنفرض أن $y = z.x\quad\Rightarrow\quad y' = z + x.z'$
والحل العام يكون :

$\int {\frac{{dz}}{{f(z) - z}} =\ln\left| x\right| + c}$

والحلول الشاذة إن وجدت تحقق $f(z) - z = 0$

2: المعادلة من الشكل $y' = f\left( {ax + by + c}\right)$
وهذه المعادلة ليست متجانسة لكن لحل هذه المعادلة نقوم بفرض ${\rm{z = ax + by + c}}$

فتتحول المعادلة إلى الشكل :
$\begin{array}{l}{\rm{b}}\ne {\rm{0}}\\ {\rm{z = ax + by + c}}\quad\Rightarrow {\rm{z' = a + by'}}\quad\Rightarrow {\rm{y' = }}\frac{{{\rm{z' - a}}}}{{\rm{b}}}\Rightarrow\\ \\ z' = b.f(z) + a\\ \end{array}$

والمعادلة الأخيرة هي معادلة قابلة للفصل وحلها سهل.

3: المعادلة من الشكل $y' = f\left( {\frac{{ax + by + c}}{{dx + ey + g}}}\right)$

في هذه الحالة ننتبه الى وضع المستقيمين

$}}\quad {\rm{dx + ey + g = 0}}$

إذا كانا متقاطعان ولتكن نقطة تقاطعهما ${\rm{(x}}_{\rm{0}} ,y_0 )$

نقوم الأن بسحب الأحداثيات إلى نقطة التقاطع أي نقوم بالتحويل التالي:
$X = x - x_0\quad\&\quad Y = y - y_0$

فتتحول المعادلة إلى الشكل التالي:
$Y' = f\left( {\frac{{aX + bY}}{{dX + eY}}}\right)$

وهي معادلة متجانسة يمكننا تحويلها إلى الشكل الأول :
$Y' = f\left( {\frac{{aX + bY}}{{dX + eY}}}\right) = f\left( {\frac{{a + b\frac{Y}{X}}}{{d + e\frac{Y}{X}}}}\right) =\tilde f\left( {\frac{Y}{X}}\right)$
إذا كانا موازيان نحول المعادلة من خلال تقسيم البسط على المقام إلى الشكل :

$y' =\tilde f\left( {ax + by + c}\right)$

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

Muhanad مشرف في الرياضيات رمز

مشكورين على التقديم الجميل

قدم بواسطة Anonymous في سبت, 12/20/2008 - 10:56

مشكورين على التقديم الجميل :-)

رد

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.