العامل المكامل

الكاتب Muhanad

Integrating Factor .

لتكن [[لدينا المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المحلولة بالنسبة للمشتق ]] $p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0\quad\quad *\quad .$

تـعـريــف : نقول عن التابع $\mu (x,y)$ أنه معامل تكامل للمعادلة $*$ إذا كانت المعادلة الناتجة عن ضرب طرفي المعادلة السابقة بـ $\mu(x,y)$ هي معادلة تفاضلية تامة .

$\mu (x,y)\left[ {p(x,y)dx + q(x,y)dy}\right] = 0\quad\quad **\quad .$

ويكون الحل العام للمعادلة التفاضلية $*$ هو الحل العام للمعادلة التامة $**$ .

مــثــال :

لاحظ أن المعادلة التفاضلية $\left( {y^2 + 4ye^x }\right)dx +\left( {2y + 2e^x }\right)dy = 0$ غير تامة .
ولا حظ أيضاً أننا لو ضربنا طرفي المعادلة بالتابع $\mu (x,y) = e^x$ تتحول لمعادلة تامة.
ويكون الحل العام معطى بالعلاقة التالية:

$F(x,y) = y^2 e^x + ye^{2x} = C$

بعض الحالات خاصة لإيجاد عامل التكامل:

الحالة 1 : أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (x)$

إذا كان المقدار $\frac{{p_y - q_x }}{q}$ متعلق فقط بـ $x$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $x$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{p_y - q_x }}{q}$

الحالة 2 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (y)$

إذا كان المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{p}$ متعلق فقط بـ $y$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $y$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{p}$

مــثــال :

$\begin{array}{l}\\\overbrace {\left( {xy - y^2 }\right)}^{p(x,y)}dx +\overbrace {\left( {x^2 - 3xy - 2y^2 }\right)}^{q(x,y)}dy = 0\\\\P_y =\frac{{\partial p(x,y)}}{{\partial y}} = x - 2y\quad\quad\&\quad\quad q_x =\frac{{\partial q(x,y)}}{{\partial x}} = 2x - 3y\\\\\frac{{q_x - p_y }}{p} =\frac{{\left( {2x - 3y}\right) -\left( {x - 2y}\right)}}{{xy - y^2 }} =\frac{1}{y}\Rightarrow\quad\mu =\mu (y)\\\\\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{1}{y}\Rightarrow\mu = y\\\\\end{array}$

ثم نضرب المعادلة الاساسية بمعامل التكامل لنحصل على المعادلة التفاضلية التامة التالية

$\begin{array}{l}\\\left( {xy^2 - y^3 }\right)dx +\left( {yx^2 - 3xy^2 - 2y^3 }\right)dy = 0\quad\Rightarrow\\\\F(x,y) =\frac{1}{2}x^2 y^2 - xy^3 -\frac{1}{2}y^4 = C\\\end{array}$

الحالة 3 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (x+y)$

إذا كان المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{{p - q}}$ متعلق فقط بـ $(x+y)$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $(x+y)$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{{p - q}}$

الحالة 4 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (x.y)$

إذا كان المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{{x.p - y.q}}$ متعلق فقط بـ $(x.y)$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $(x.y)$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{{x.p - y.q}}$

مــثــال :

$\begin{array}{l}\\\overbrace {\left( {3x^{} y^3 + 2y\cos (x^2 y^2 )}\right)}^pdx +\overbrace {\left( {4x^2 y^2 + 2x\cos (x^2 y^2 )}\right)}^qdy = 0\\\\p_y = 9xy^2 + 2\cos (x^2 y^2 ) + 4x^2 y^2\cos (x^2 y^2 )\\\&\\q_x = 8xy^2 + 2\cos (x^2 y^2 ) + 4x^2 y^2\cos (x^2 y^2 )\\\\\frac{{q_x - p_y }}{{x.p - y.q}} =\frac{{ - xy^2 }}{{ - x^2 y^3 }} =\frac{1}{{xy}}\Rightarrow\mu =\mu (xy)\\\\\frac{{\mu _{(x.y)}^' }}{\mu } =\frac{1}{{xy}}\Rightarrow\mu = xy\\\\\Rightarrow the\;new\;equation:\\\left( {3x^2 y^4 + 2xy^2\cos (x^2 y^2 )}\right)dx +\left( {4x^3 y^3 + 2yx^2\cos (x^2 y^2 )}\right)dy = 0\\\\and\;{\rm{the\;solution\;of\; the\; equation:\;}}\quad x^3 y^4 +\cos (x^2 y^2 ) = C\\\\\end{array}$

ملاحظة هامة:
كيف يمكننا معرفة عامل التكامل : الجواب لا يمكن ذلك إلا بالتجريب والخبرة والملاحظة .
ولكن بشكل عام لو كان عامل التكامل من الشكل $\mu =\mu (\varphi (x,y))$ لكان لدينا

$\begin{array}{l}\\\mu =\mu (\varphi (x,y))\\\\\partial _y\left\{ {\mu (\varphi )*p(x,y)}\right\} =\partial _x\left\{ {\mu (\varphi )*q(x,y)}\right\}\\\\\mu '.\varphi _y .p +\mu .p_y =\mu '.\varphi _x .q +\mu .q_x\Rightarrow\\\\\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{{\varphi _y .p -\varphi _x .q}}\\\end{array}$