العامل المكامل

الكاتب Muhanad

Integrating Factor .

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المحلولة بالنسبة للمشتق $p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0\quad\quad *\quad .$

تـعـريــف : نقول عن التابع $\mu (x,y)$ أنه معامل تكامل للمعادلة $*$ إذا كانت المعادلة الناتجة عن ضرب طرفي المعادلة السابقة بـ $\mu(x,y)$ هي معادلة تفاضلية^[م] تامة .

$\mu (x,y)\left[ {p(x,y)dx + q(x,y)dy}\right] = 0\quad\quad **\quad .$

ويكون الحل العام للمعادلة التفاضلية $*$ هو الحل العام للمعادلة التامة $**$ .

مــثــال :

لاحظ أن المعادلة التفاضلية $\left( {y^2 + 4ye^x }\right)dx +\left( {2y + 2e^x }\right)dy = 0$ غير تامة .
ولا حظ أيضاً أننا لو ضربنا طرفي المعادلة بالتابع $\mu (x,y) = e^x$ تتحول لمعادلة تامة.
ويكون الحل العام معطى بالعلاقة التالية:

$F(x,y) = y^2 e^x + ye^{2x} = C$

بعض الحالات خاصة لإيجاد عامل التكامل:

الحالة 1 : أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (x)$

إذا كان المقدار $\frac{{p_y - q_x }}{q}$ متعلق فقط بـ $x$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $x$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{p_y - q_x }}{q}$

الحالة 2 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (y)$

إذا كان المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{p}$ متعلق فقط بـ $y$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $y$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{p}$

مــثــال :

$\begin{array}{l}\\\overbrace {\left( {xy - y^2 }\right)}^{p(x,y)}dx +\overbrace {\left( {x^2 - 3xy - 2y^2 }\right)}^{q(x,y)}dy = 0\\\\P_y =\frac{{\partial p(x,y)}}{{\partial y}} = x - 2y\quad\quad\&\quad\quad q_x =\frac{{\partial q(x,y)}}{{\partial x}} = 2x - 3y\\\\\frac{{q_x - p_y }}{p} =\frac{{\left( {2x - 3y}\right) -\left( {x - 2y}\right)}}{{xy - y^2 }} =\frac{1}{y}\Rightarrow\quad\mu =\mu (y)\\\\\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{1}{y}\Rightarrow\mu = y\\\\\end{array}$

ثم نضرب المعادلة الاساسية بمعامل التكامل لنحصل على المعادلة التفاضلية^[م] التامة التالية

$\begin{array}{l}\\\left( {xy^2 - y^3 }\right)dx +\left( {yx^2 - 3xy^2 - 2y^3 }\right)dy = 0\quad\Rightarrow\\\\F(x,y) =\frac{1}{2}x^2 y^2 - xy^3 -\frac{1}{2}y^4 = C\\\end{array}$

الحالة 3 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (x+y)$

إذا كان المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{{p - q}}$ متعلق فقط بـ $(x+y)$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $(x+y)$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{{p - q}}$

الحالة 4 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل $\mu=\mu (x.y)$

إذا كان المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{{x.p - y.q}}$ متعلق فقط بـ $(x.y)$ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ $(x.y)$ ويمكن حسابه من العلاقة: $\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{{x.p - y.q}}$

مــثــال :

$\;}}\quad x^3 y^4 +\cos (x^2 y^2 ) = C\\\\\end{array}$

ملاحظة هامة:
كيف يمكننا معرفة عامل التكامل : الجواب لا يمكن ذلك إلا بالتجريب والخبرة والملاحظة .
ولكن بشكل عام لو كان عامل التكامل من الشكل $\mu =\mu (\varphi (x,y))$ لكان لدينا

$\begin{array}{l}\\\mu =\mu (\varphi (x,y))\\\\\partial _y\left\{ {\mu (\varphi )*p(x,y)}\right\} =\partial _x\left\{ {\mu (\varphi )*q(x,y)}\right\}\\\\\mu '.\varphi _y .p +\mu .p_y =\mu '.\varphi _x .q +\mu .q_x\Rightarrow\\\\\frac{{\mu '}}{\mu } =\frac{{q_x - p_y }}{{\varphi _y .p -\varphi _x .q}}\\\end{array}$

حيث أنّ : $\mu ' =\frac{{\partial\mu }}{{\partial\varphi }}$

وبالتالي يجب أن يكون المقدار $\frac{{q_x - p_y }}{{\varphi _y .p -\varphi _x .q}}$ تابع لـ $\varphi$

تمرين :تحقق من أنّه حتى يكون عامل التكامل تابع لـ ${(y-x)}$ يجب أن يكون $\frac{{q_x - p_y }}{{p + q}}$ تابع لـ ${(y-x)}$ أيضاً.

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

Muhanad مشرف في الرياضيات رمز

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.