معادلة برنولي .

الكاتب Muhanad

تعريف معادلة برنولي هي معادلة تفاضلية عادية من المرتبة الأولى وتكتب على الشكل "Bernoulli ODE" .

$\boxed{\;\;\;y' + a(x)y = r(x).y^m \quad :m \in R\backslash \{ 0,1\} \;\;\;}$

طريقة الحل:

الفكرة تكمن بتحويلها اى معادلة تفاضلية خطية من المرتبة الأولى.. ويتم ذلك من خلال الأتي..

$\begin{array}{l}y'+a(x)y =r(x)y^{m}\quad:m\notin \{ 0,1\}\Rightarrow\\ \\ y^{- m} .y'+a(x)y^{1-m}=r(x)\end{array}$

نقوم بالتحويلي الأتي : $\boxed{u = y^{1 -m}}$ فينتج لدينا $\Leftarrow \quad u' = (1 -m)y^{ -m} y'$ وبالتعويض بالمعادلة السابقة ينتج لدينا المعادلة الخطية التالية:

$u' + \overbrace {(1 - m).a(x)}^{p(x)}.u = \overbrace {(1 - m).r(x)}^{q(x)}$

ملاحظة: يجب أخذ يبعين الإعتبار إن كان $y = 0$ حلاً أما لا وفيما إذا كان خاص أم شاذ.

مثال :
حل المعادلة التالية $y' - 5y = - 5x.y^3$

بإستخدام الطريقة أعلاه لدينا $m=3$ نفرض أنّ $u=y^{1-m}=y^{-2}$ وبالتالي نحصل على المعادلة :

$u' + 10u = 10x$

وهي معادلة تفاضلية خطية من المرتبة الأولى وحلها العام هو

$u(x) = ce^{ - 10x} + x - \frac{1}{{10}}$

وبالتالي يكون لدينا

$y^{ - 2}= ce^{- 10x}+ x - \frac{1}{{10}}\quad\Rightarrow y =\pm \sqrt {\frac{{10}}{{Ce^{ - 10x}+ 10x - 1}}}$

والعلاقة الأخيرة هي الحل العام .....

ونلاحظ أنّ $y = 0$ هو حل للمعادلة ...ولكنه حل شاذ لانه لا ينتج من الحل العام.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـ الكاتب Muhamad

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

معادلة برنولي .

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة