الشبكة موقع متخصص في عرض علوم الرياضيات في صفحات ثابتة تحتوي كل صفحة على وحدة معرفية معينة.معادلة ريكاتي
الكاتب Muhanad
تعريف معادلة ريكاتي "Riccati ODE" هي معادلة تفاضلية عادية من المرتبة الأولى يمكن كتابتها على الشكل:
طريقة الحل:
سنقوم بحل معادلة ريكاتي بتحويلها الى معادلة خطية من المرتبة الأولى.
وهذه الطريقة تعتمد على معرفة حل خاص لمعادلة ريكاتي.
ليكن 
حل خاص لمعادلة ريكاتي وبالتالي 
سنقوم الآن بإجراء التحويل التالي...
بالتعويض بالمعادلة أعلاه نجد أنّ:
![\begin{array}{l}\left({u' - \frac{{v'}}{{v^2 }}} \right) + a(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right) = r(x) + f(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right)^2\\ \\ \overbrace {\;\;u'\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad }^{}} - \underbrace {\;\frac{{v'}}{{v^2 }}\;}_{} + \overbrace {\;\;a.u\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \underbrace {\;\frac{a}{v}\;}_{} = \overbrace {\;\;r(x)\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \overbrace {\;\;f.u^2 \;\;}^{\overbrace {\quad \quad \;\;\quad }^{}} + \underbrace {2f\frac{u}{v} + f\frac{1}{{v^2 }}}_{} \\ \\ v' + \left[ {2u.f(x) - a(x)} \right].v =- f(x)\\ \\ \end{array}](/math/files/tex/7816b57a78a221f160a67832ddda0a21.png "\begin{array}{l}\left({u' - \frac{{v'}}{{v^2 }}} \right) + a(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right) = r(x) + f(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right)^2\\ \\ \overbrace {\;\;u'\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad }^{}} - \underbrace {\;\frac{{v'}}{{v^2 }}\;}_{} + \overbrace {\;\;a.u\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \underbrace {\;\frac{a}{v}\;}_{} = \overbrace {\;\;r(x)\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \overbrace {\;\;f.u^2 \;\;}^{\overbrace {\quad \quad \;\;\quad }^{}} + \underbrace {2f\frac{u}{v} + f\frac{1}{{v^2 }}}_{} \\ \\ v' + \left[ {2u.f(x) - a(x)} \right].v =- f(x)\\ \\ \end{array}")
نلاحظ أنّ المعادلة الأخيرة عبارة عن تفاضلية خطية من المرتبة الأولى.
ملاحظة: كان بالامكان تحويل معادلة ريكاتي الى معادلة برنولي من خلال الفرض 
حيث انّ 
حل خاص لمعادلة ريكاتي.
مثال :[/]
لتكن المعادلة :
- بين أن
حل خاص للمعادلة السابقة. - أوجد الحل العام لها.
التعليقات
علِّق