شجرة الكتاب الحالي
آخر مواضيع المنتدى
مواقع رياضيات عالمية
معادلة ريكاتي
الكاتب Muhanad
تعريف معادلة ريكاتي "Riccati ODE" هي معادلة تفاضلية[م] عادية من المرتبة الأولى يمكن كتابتها على الشكل:
طريقة الحل:
سنقوم بحل معادلة ريكاتي بتحويلها الى معادلة خطية من المرتبة الأولى.
وهذه الطريقة تعتمد على معرفة حل خاص لمعادلة ريكاتي.
ليكن 
حل خاص لمعادلة ريكاتي وبالتالي 
سنقوم الآن بإجراء التحويل[م] التالي...
بالتعويض بالمعادلة أعلاه نجد أنّ:
![\begin{array}{l}\left({u' - \frac{{v'}}{{v^2 }}} \right) + a(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right) = r(x) + f(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right)^2\\ \\ \overbrace {\;\;u'\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad }^{}} - \underbrace {\;\frac{{v'}}{{v^2 }}\;}_{} + \overbrace {\;\;a.u\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \underbrace {\;\frac{a}{v}\;}_{} = \overbrace {\;\;r(x)\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \overbrace {\;\;f.u^2 \;\;}^{\overbrace {\quad \quad \;\;\quad }^{}} + \underbrace {2f\frac{u}{v} + f\frac{1}{{v^2 }}}_{} \\ \\ v' + \left[ {2u.f(x) - a(x)} \right].v =- f(x)\\ \\ \end{array}](/math/files/tex/7816b57a78a221f160a67832ddda0a21.png "\begin{array}{l}\left({u' - \frac{{v'}}{{v^2 }}} \right) + a(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right) = r(x) + f(x).\left( {u + \frac{1}{v}} \right)^2\\ \\ \overbrace {\;\;u'\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad }^{}} - \underbrace {\;\frac{{v'}}{{v^2 }}\;}_{} + \overbrace {\;\;a.u\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \underbrace {\;\frac{a}{v}\;}_{} = \overbrace {\;\;r(x)\;\;}^{\overbrace {\quad \quad \quad \quad }^{}} + \overbrace {\;\;f.u^2 \;\;}^{\overbrace {\quad \quad \;\;\quad }^{}} + \underbrace {2f\frac{u}{v} + f\frac{1}{{v^2 }}}_{} \\ \\ v' + \left[ {2u.f(x) - a(x)} \right].v =- f(x)\\ \\ \end{array}")
نلاحظ أنّ المعادلة الأخيرة عبارة عن تفاضلية خطية من المرتبة الأولى.
ملاحظة: كان بالامكان تحويل[م] معادلة ريكاتي الى معادلة برنولي من خلال الفرض 
حيث انّ 
حل خاص لمعادلة ريكاتي.
مثال :[/]
لتكن المعادلة :
- بين أن
حل خاص للمعادلة السابقة. - أوجد الحل العام لها.
نبذة عن كاتب الموضوع
Muhanad مشرف في الرياضيات رمز
برامج يجب توفرها على جهازك لاستعراض محتويات الموقع
© MathRamz | All Rights Reserved
علِّق