معادلة أولر - كوشي

الكاتب Muhanad

Euler-Cauchy ODE

لها الشكل العام

$y'' + p\frac{{y'}}{x} + q\frac{y}{{x^2 }} = 0\quad \quad ,\quad x^2 y'' + xpy' + qy = 0$

الطريقة الأولى.

كما في المتجانسة سنبحث عن حلين خاصين ... ولكن هذه المرة من الشكل $y = x^r$

وبالتالي يكون

$y = x^r \Rightarrow \quad y' = r \cdot x^{r - 1} \quad \Rightarrow \quad y'' = r(r - 1) \cdot x^{r - 2}$

بالتعويض في المعادلة التفاضلية نحصل على المعادلة المميزة التالية :

$r(r - 1) + pr + q = 0$

سنميز أيضاً ثلاث حالات .

الحالة الأولى للمعادلة المميزة جزرين حقيقين مختلفين . $r_1 ,r_2 \in R\quad ,r_1 \ne r_2$

الحل العام يعطى بالعلاقة

$y(x) = C_1 x^{r_2 } + C_2 x^{r_2 }$

الحالة الثانية للمعادلة المميزة جزر مكرر $r_1 = r_2 = r \in R$

في هذه الحالة يكون لدينا الحلين الخاصين المستقليين هما $y_1 = x^r \quad ,\quad y_2 = x^r .\ln (x)$

والحل العام يكون

$y(x) = C_1 x^{r_{} }+ C_2 x^{r_{} } \ln (x) = x^r .\left( {C_1+ C_2 \ln (x)} \right)$

الحالة الثالثة للممعادلة المميزة جزرين عقديين $r_{1,2} = \alpha \mp \beta i$

في هذه الحالة الحلول الخاصة هي : $y_1 = x^\alpha \cos (\beta \ln (x))\quad ,\quad y_2 = x^\alpha \sin (\beta \ln (x))$

والحل العام هو:

$y(x) = C_1 x^\alpha \cos (\beta \ln (x)) + C_2 x^\alpha \sin (\beta \ln (x)) = x^\alpha .\left[ {C_1 \cos (\beta \ln (x)) + C_2 \sin (\beta \ln (x))} \right]$

الطريقة الثانية:

وبالامكان تحويلها الى المتجانسة بأمثال ثابتة بإجراء التحويل التالي.

$x = e^t$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

معادلة أولر - كوشي

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة