الصفحة الرئيسية

الحلقة النيوثرية

 

 

الحلقة[م] النيوثرية

Noetherian Ring

 

جدول المحتويات [اخفاء]
    1. لمحة تاريخية
    2. تعريف
    3. نظريات وحقائق
    4. مراجع

 

لمحة تاريخية

تعد الحلقة النيوثرية جزءا هاما من الجبر بالنسبة لنظرية[م] العدد وبالذات في فرع الهندسة الجبرية.  سميت الحلقة النيوثرية نسبة للرياضية الألمانية Amalie Emmy Noether (1882م-1935م) ووالدها هو الرياضي Max Noether.  اشتهرت نيوثر بعملها في فروع جبرية متعددة مثل حقول العدد وحسبان التنوع وبإسهاماتها في الفيزياء النظرية.  تعد نيوثر من أشهر النساء اللاتي عملن في حقل[م] الرياضيات وتعتبر نظرية نويثر في الفيزياء من أفضل النظريات الرياضية الدافعة لتطور الفيزاء النظرية.  أيضا يعزى لها الإستخدام البارع لشرط السلسة المتصاعدة وتوظيفها للمثاليات بفعالية أكبر في الحلقات.  انتقلت في أواخر حياتها تحت ضغط النازية إلى الولايات المتحدة والتحقت بإحدى الكليات هناك.  للمزيد حول حياتها وأعمالها انظر http://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

 

رياضيات , جبر الحلقة النيوثرية Noether

Noetherian Ring

 

تعريف

نقول عن حلقة R أنها تحقق شرط السلسلة المتصاعدة ascending chain condition واختصاره ACC إذا كانت كل سلسلة تصاعدية

 

A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots

 

من المثاليات في R تصبح مستقرةstationary .  بمعنى يوجد عدد صحيح موجب n بحيث

 

A_n = A_{n + 1} = A_{n + 2} = \ldots

 

نقول عن حلقة R أنها نيوثرية Noetherian إذا كانت تحقق شرط السلسلة المتصاعدة.

 

إذا الحلقة النيوثرية هي التي لا تحتوي على سلسلة لا نهائية ومتصاعدة فعليا strictly ascending من المثاليات.

 

بعض الأمثلة

1.  كل حقل هو حلقة نيثورية

2.  كل حلقة منتهية R هي حلقة نيثورية, حيث أن أي سلسلة من مثاليات متصاعدة فعليا يجب أن تكون منتهية.

3.  الحلقة R للدوال[م] الحقيقية f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ليست نيوثرية, لبيان ذلك عرف لكل صحيح موجب k المثالية

 

A_k = \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}:f(2^k n) = 0\;{\text{for all }}n \in \mathbb{Z}\}

 

واضح أن A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots متسلسلة لا نهائية تصاعدية فعليا لمثاليات من R. 

 

نظريات وحقائق

 

حقيقة1: كل منطقة مثالية رئيسية هي حلقة نيوثرية.

 

البرهان: افرض أن A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots سلسلة لا نهائية متصاعدة لمثاليات في R.  اجعل

 

A = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {A_n }

 

من تصاعدية السلسلة واضح أن A مثالية.  بما أن R منطقة مثالية رئيسية يوجد c \in R بحيث (c) = A.  من تعريف A يوجد A_k بحيث c \in A_k \subset A وبالتالي

 

A = (c) \subset A_k \subset A_{k + 1} \subset \ldots \subset A

 

إذا A_{k + 1} = A_{k + 2} = A_{k + 3} = \ldots وبالتالي R نيوثرية.

 

 

مبرهنة2: إذا كانت R حلقة فإن التقارير التالية متكافئة:

(1) R حلقة نيوثرية.

(2) كل مثالية في R ذات مولدات منتهية.

(3) كل تجمع غير خالي S لمثاليات من R يحوي عنصر أعظم, أي أن S يحوي مثالية A غير محتواه في أي مثالية أخرى من S.

 

البرهان:

(3) \Leftarrow (1): افرض أن R نيوثرية ولتكن S مجموعة غير خالية لمثاليات في R.  اختر A_1 \in S.  إذا لم تكن A_1 مثالية عظمى فإنه يوجد A_2 \in S بحيث يكون A_1 \subset A_2 احتواء فعلي.  إذا لم تكن A_2 مثالية عظمى فإنه يوجد A_3 \in S بحيث A_2 \subset A_3 احتواء فعلي.  السير على هذا المنوال يجب أن ينتهى لأن خلاف ذلك يؤدي إلى سلسلة متصاعدة لا نهائية لمثاليات من R.  إذا يوجد A_k \in S بحيث تكون عظمى في S.

 

(2) \Leftarrow (3): لتكن A مثالية في R.  عرف S على أنها مجموعة المثاليات في R ذات المولدات المنتهية والمحتواه في A .  إذا S تملك عنصر أعظم M, أي أن M غير محتواه فعليا في أي من عناصر S.  إذا M \subset A.  إذا كانت M \ne A فهناك a \in A\backslash M وبالتالي (M,a) \in S لكونها ذات مولدات منتهية ومحتواه في A.  هذا يخالف أعظمية M في S.  إذا M = A أي أن A ذات مولدات منتهية.

 

(1) \Leftarrow (2): افرض أن A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots سلسلة لا نهائية متصاعدة لمثاليات في R.  اجعل

 

A = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {A_n }

 

من تصاعدية السلسلة واضح أن A مثالية.  إذا يوجد a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R بحيث

 

A = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )

 

حسب تعريف A فإن لكل 1 \leqslant i \leqslant n يوجد A_{n_i } بحيث a_i \in A_{n_i } .  إذا جعلنا k = \max \{ n_i \} فإن a_i \in A_k لكل 1 \leqslant i \leqslant n وبالتالي

 

A = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ) \subset A_k \subset A_{k + 1} \subset A_{k + 2} \subset \ldots \subset A

 

وبالتالي A_{k + 1} = A_{k + 2} = A_{k + 3} = \ldots وهذا يثبت أن R نيوثرية.

 

 

حقيقة3: كل عنصر غير صفري وليس عنصر وحدة من حلقة تامة نيوثرية R يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل.  كحالة خاصة كل عنصر غير صفري وليس عنصر وحدة من منطقة مثالية رئيسية أو حلقة إقليدية يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل.

 

البرهان: تذكر في حلقة إبدالية ذات محايد لدينا(a) \subset (b) \Leftrightarrow b|a وكذلك (a) = (b) إذا وإذا فقط كان a,b متشاركان وهذا في الحلقات التامة يتحقق إذا وإذا فقط وجد عنصر وحدة u بحيث a = ub.

 

الآن عرف S لتكون مجموعة جميع المثاليات من الشكل (x) حيث x لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل.  بما أن R نيوثرية فإن S لها عنصر أعظم وليكن (a).  بما أن a لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل فإنه بنفسه لا يمكن أن يكون غير قابل للتحليل.  إذا a = bc حيث كلا من a,b ليست عناصر وحدة.  إذا (a) \subset (b) لأن b|a.  وحيث أن هذا الاحتواء فعلي لأن عكس ذلك يعني أن c عنصر وحدة فإن أعظمية (a) تقتضي بأن b يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل.  بمحاورة مشابهة نصل إلى أن c أيضا يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل.  إذا أمكن كتابة a كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل وهذا تناقض.

الحالة الخاصة تنتج من الحقيقة أعلاه التي تنص على أن كل منطقة مثالية رئيسية هي حلقة نيوثرية ومن حقيقة أن كل حلقة إقليدية هي منطقة مثالية رئيسية.

 

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

ب.  هارتلي, ت.  هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د.  يوسف بن عبد الله الخميس, د.  أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W.  Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I.  N.  Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_ideal_domain

http://planetmath.org/encyclopedia/Noetherian.html

 

 

نبذة عن كاتب الموضوع
User picture
الإسم: محترف
عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

  • Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
  • Every instance of "<!--tableofcontents-->" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: <!--tableofcontents list: ol; title: Table of Contents; minlevel: 1; maxlevel: 2;-->. All arguments are optional and defaults are shown.
  • وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
  • Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
  • Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
  • Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
  • Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
  • Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق
This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
انسخ محتوى الصورة مع مراعاة حالة الأحرف
lovemath.png