الزمرة الناظمية

Normal Supgroup

تعريف 1 : لتكن $H$ زمرة جزئية من الزمرة $G$ . نقول أن $H$ زمرة جزئية ناظمية من $G$ إذا كان $ghg^{ - 1} \in H$ لكل $g \in G$ و $h \in H$ , ونكتب $H \triangleleft G$ للتعبير على أن $H$ زمرة ناظمية من $G$ .

يتضح من هذا التعريف مباشرة ان

• كل زمرة ناظمية من نفسها $G \triangleleft G$ . كذلك $\{ e\} \triangleleft G$ حيث e محايد الزمرة.

• إذا كانت $H$ زمرة جزئية من زمرة ابدالية $G$ فإن $H$ زمرة ناظمية. ذلك لأن

$ghg^{ - 1} = g * (h * g^{ - 1} ) = g * (g^{ - 1} * h) = (g * g^{ - 1} ) * h = e * h \in H$

ربما يختلف تعريف الزمرة النظامية من مرجع لآخر لكنه اختلاف لفظي لأن هذه التعاريف متكافئة كما تبين الحقيقة التالية والتي نترك إثباتها كتمرين.

حقيقة 1: إذا كانت $H$ زمرة جزئية من الزمرة $G$ فإن التقارير التالية متكافئة.

1. $ghg^{ - 1} \in H$ لكل $g \in G$ و $h \in H$ .

2. $gHg^{ - 1} = H$ لكل $g \in G$ , حيث $gHg^{ - 1} = \{ ghg^{ - 1} :h \in H\}$ .

3. $gH = Hg$ لكل $g \in G$ .

4. لأي $a,b \in G$ , $ab^{ - 1} \in H$ إذا وفقط إذا $a^{ - 1} b \in H$ .

نظرية1: إذا كانت $H$ زمرة جزئية من زمرة $G$ بحيث $\left[ {G:H} \right] = 2$ فإن $H$ زمرة ناظمية من $G$ .

الإثبات: ليكن $g$ عنصر اختياري من $G\backslash H$ . كلا من $H,gH$ و $H,Hg$ يمثلان تجزيء للمجموعة $G$ . إذا $gH = Hg$ . وحيث أن $aH = Ha$ لكل $a \in H$ فإن

$gH = Hg \;\;{\rm{ for all }}\;\; g \in G$

وهذا يثبت أن $H$ زمرة ناظمية من $G$ .

تمارين

1. إذا كانت $H,K$ زمرتين جزئيتين ناظميتين من الزمرة $G$ فإن $H \cap K \triangleleft G$ . بشكل عام تقاطع عدد من الزمر الجزئية الناظمية من $G$ هو زمرة ناظمية من $G$ .

2. أثبت صحة الحقيقة 1 باستخدام اقتضاء مغلق مثل

$2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1 \Rightarrow 2$

3. زمرة التباديل $A_n$ ناظمية في $S_n$ .

المراجع

1. نظرية الزمر , سلسلة ملخصات شوم.

2. A Course on Group Theory, J.S. Rose

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الزمرة الناظمية

Normal Supgroup

التعليقات

يمكن الإشارة

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة