الفضاء المعياري Lp

Normed Lp Spaces

تذكر الفضاء المعياري normed space عبارة عن ثنائي مرتب $(X,\left\| {} \right\|)$ من فضاء خطي (اتجاهي) X على حقل الأعداد المركبة أو الحقيقية K مزود بدالة $\left\| . \right\|$ تسمى معيار norm أو نظيم تحقق الخواص التالية:

$\begin{array}{*{20}c} {i)} \hfill & {\left\| x \right\| \ge 0\;{\rm{ and }}\left\| x \right\| = 0 \Leftrightarrow x = 0} \hfill \\ {ii)} \hfill & {\left\| {\alpha x} \right\| = \left| \alpha \right|\left\| x \right\|} \hfill \\ {iii)} \hfill & {\left\| {x + y} \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|} \hfill \\\end{array}$

وذلك لكل $x,y \in X$ و $\alpha \in K$ .

إذا كان الفضاء الخطي X محقق لهذه الشروط الثلاثة ماعدا أن $\left\| x \right\| = 0$ لا يقتضي بالضرورة $x = 0$ فإن $(X,\left\| {} \right\|)$ يسمى فضاء شبه معياري semi normed linear space.

الفضاء الخطي $L_p (\mu )$

لدينا فضاء القياس $(X,\Sigma ,\mu )$ وليكن $1 \le p < + \infty$ عدد حقيقي. الفضاء $L_p (\mu )$ عبارة عن تجمع كل الدوال الحقيقية القيمة أو المركبة القيمة القابلة للقياس والقابلة للتكامل بقوة p p-power integrable أي

$\int {\left| f \right|^p d\mu } < + \infty$

الفضاء $L_p (\mu )$ فضاء خطي (اتجاهي) تحت عملية الجمع وعملية الضرب العددي المعرفتان كما يلي:

$\begin{array}{l} (f + g)(x) = f(x) + g(x) \\ (\alpha f)(x) = \alpha f(x) \\ \end{array}$

حيث $f,g \in L_p (\mu )$ و $\alpha$ عدد من الحقل K. واضح أن كلا العمليتين تحققان الخواص الجبرية لفضاء اتجاهي, يبقى فقط التحقق من أن $L_p (\mu )$ مغلق تحت هاتين العمليتين. المتباينة

$\left| {f(x) + g(x)} \right|^p \le \left( {2\max \left( {\left| {f(x)} \right|,\left| {g(x)} \right|} \right)} \right)^p \le 2^p \left( {\left| {f(x)} \right|^p + \left| {g(x)} \right|^p } \right)$

تكفي لإثبات أن $f + g \in L_p (\mu )$ عندما $f,g \in L_p (\mu )$ كذلك $\alpha f \in L_p (\mu )$ لكل عدد $\alpha$ . حيث

$\int {\left| {\alpha f} \right|^p d\mu } = \left| \alpha \right|^p \int {\left| {\alpha f} \right|^p d\mu } < + \infty$

$L_p (\mu )$ فضاء معياري

إذا كانت $f \in L_p (\mu )$ عرف $\left\| . \right\|_p$ بالعلاقة

$\left\| f \right\|_p = \left( {\int {\left| f \right|^p d\mu } } \right)^{1/p}$

لاحظ أن $\left\| f \right\|_p = 0$ إذا وإذا فقط $f = 0\;a.e.$ على X. كذلك $\left\| {\alpha f} \right\|_p = \left| \alpha \right|\left\| f \right\|_p$ وكذلك (وهذا ما سنثبته لاحقا) أنه لأي $f,g$ من $L_p (\mu )$ فإن

$\left\| {f + g} \right\|_p \le \left\| f \right\|_p + \left\| g \right\|_p$

أي أن $L_p (\mu )$ فضاء شبه معياري. ولذلك إذا عرفنا على $L_p (\mu )$ علاقة التكافؤ, $f \sim g$ إذا وإذا فقط $f = g\;a.e.$ على X, فإن $L_p (\mu )$ (المكون من صفوف تكافؤ بدلا من الدوال) يصبح فضاء معياري تحت المعيار

$\left\| {[f]} \right\| = \left\| f \right\|_p = \left( {\int {\left| f \right|^p d\mu } } \right)^{1/p}$

هذا المعيار يسمى معيار- $L_p$ وهو معرف جيدا, أي مستقل عن الممثل $f$ للصف $[f]$ لأنه إذا كان $g \in [f]$ فإن $f = g\;a.e.$ على X وبالتالي

$\int {\left| f \right|^p d\mu } = \int {\left| g \right|^p d\mu }$

ملاحظة: من الملائم غالبا تجنب إطلاق المصطلح "فصول تكافؤ" على عناصر $L_p (\mu )$ واستخدام مصطلح "الدالة" فنقول الدالة $f$ بدلا من قولنا الفصل $[f]$ فليؤخذ هذا في الاعتبار.

الفضاء $\ell _p$

إذا كان $\mu$ مقياس العد counting measure على $\sigma$ -الجبرة المكونة من كل المجموعات الجزئية من مجموعة عدودة X فإن الدوال القابلة للقياس هي المتتابعات $f = (x_n )$ في X وتكاملها هو مجموعها, أي أن

$\int {fd\mu } = \sum\limits_n {x_n }$

وقد جرت العادة في هذه الحالة إلى الرمز للفضاء $L_p (\mu )$ بالرمز $\ell _p (X)$ أو $\ell _p$ . إذا عناصر $\ell _p (X)$ عبارة عن متتابعات $f = (x_n )$ قابلة للجمع summable بقوة p, أي $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {x_n } \right|^p } < + \infty$ ومعيار $\ell _p$ هو

$\left\| x \right\| = \left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {x_n } \right|^p } } \right)^{1/p}$

بما أن المجموعة الخالية هي الوحيدة التي مقياسها صفر بمقياس العد $\mu$ فإن كل فصل تكافؤ في $\ell _p (X)$ يتكون فقط من عنصر واحد.

الفضاء $L_\infty (\mu )$

نقول أن الدالة $f:X \to \mathbb{R}or\mathbb{C}$ محدودة جوهريا essentially bounded إذا كانت محدودة تقريبا على X. هذا يعني وجود مجموعة N قياسها صفر وعدد موجب M بحيث

$\left| {f(x)} \right| \le M\;{\rm{for all}}\;x \in X\backslash N$

التجمع $L_\infty (\mu )$ مخصص للدوال المعرفة على X القابلة للقياس والتي قيمتها في $\mathbb{R}$ أو $\mathbb{C}$ والمحدودة جوهريا. كما مر معنا من قبل, إذا طابقنا بين كل دالتين متساويتان تقريبا يصبح $L_\infty (\mu )$ فضاء معياري تحت معيار- $L_\infty$ المعطى بالعلاقة

$\left\| f \right\|_\infty = \mathop {\inf }\limits_N \{ M:\left| {f(x)} \right| \le M\;{\rm{forall}}\;x \in X\backslash N\}$

حيث N تسري على كل المجموعات ذات المقياس صفر. هذا المعيار له صورة أخرى مكافئة وهي

$\left\| f \right\|_\infty = \mathop {\inf }\limits_N \mathop {\sup }\limits_{X\backslash N} \left| {f(x)} \right|$

يستنتج مباشرة من هذا التعريف أن

$\left| {f(x)} \right| \le \beta \;\;a.e.\;\; \Leftrightarrow \;\;\left\| f \right\|_\infty \le \beta$

الفضاء $\ell _\infty$

إذا كان $\mu$ مقياس العد counting measure على $\sigma$ -الجبرة المكونة من كل المجموعات الجزئية من مجموعة عدودة X فكل دالة في $L_\infty (\mu )$ عبارة عن متتابعة محدودة وفي هذه الحالة نستخدم الرمز $\ell _\infty (X)$ أو $\ell _\infty$ للإشارة إلى الفضاء $L_\infty (\mu )$ . بما أن المجموعة الخالية هي الوحيدة التي مقياسها صفر بمقياس العد $\mu$ فإن كل فصل تكافؤ يتكون فقط من عنصر واحد كما أن الدالة (المتتابعة) محدودة جوهريا إذا وإذا فقط كانت محدودة, لذا المعيار- $\ell _\infty$ للمتتابعة $x = (x_n )$ هو

$\left\| x \right\| = \mathop {\sup }\limits_n \left| {x_n } \right|$

حقيقة1: إذا كانت $f \in L_\infty (\mu )$ فإن $\left| {f(x)} \right| \le \left\| f \right\|_\infty \;\;a.e.$ .

البرهان: من تعريف $\left\| f \right\|_\infty$ فإنه لكل طبيعي n يوجد حقيقي $M_n$ ومجموعة $S_n$ قياسها صفر بحيث

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } M_n = \left\| f \right\|_\infty ,\;\;{\rm{and }}\left| {f(x)} \right| \le M_n \;{\rm{for all}}\;x \in X\backslash S_n$

إذا جعلنا $S = \mathop \cup \limits_n S_n$ فإن $\left| {f(x)} \right| \le M_n$ لكل $x \in X\backslash S$ ولكل n. وحيث $M_n \to \left\| f \right\|_\infty$ فإن

$\left| {f(x)} \right| \le \left\| f \right\|_\infty \;\;{\rm{for all}}\;x \in X\backslash S$

وهو المطلوب إثباته لأن S مقياسها صفر لكونها إتحاد عدود لمجموعات مقاييسها صفر.

تعريف2 (الأسس المترافقة): يقال عن عددين حقيقيين موجبين $p,q$ أسس مترافقة conjugate exponents إذا كان $p + q = pq$ أو بصورة مكافئة إذا كان

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$

واضح أن $1 < p,q < + \infty$ . كما أن $q \to \infty$ عندما $p \to 1$ لذلك الثنائي $1,\;\infty$ نعدهما أسس مترافقة.

العددان أو الأسان المترافقان لهما دور كبير في دراسة الفضاءات $L_p$ فهناك حقائق هامة أساسية تربط ما بين الفضائين $L_p$ و $L_q$ في نظرية القياس وفي التحليل الدالي بشكل عام ولكن نحتاج لبعض المصطلحات والمتباينات المساعدة لإثباتها.

متباينة يونغ Young's Inequality

مبرهنة3 (متباينة يونغ): إذا كان $p,q$ مترافقان حيث $1 < p < \infty$ و $A,B \ge 0$ فإن

$AB \le \frac{{A^p }}{p} + \frac{{B^q }}{q}\quad (1)$

والتساوي يتحقق إذا وإذا فقط $A^p = B^q$ .

البرهان: من أجل $0 < \alpha < 1$ و $t \ge 0$ عرف $f(t) = 1 - \alpha + \alpha t - t^\alpha$ المشتقة للدالة f تنعدم عند $t = 1$ حيث $f'(t) = \alpha \left( {1 - t^{\alpha - 1} } \right)$ وتتبدل إشارتها من سالبة إلى موجبة. إذا للدالة f قيمة صغرى عند $t = 1$ , أي أن

$t^\alpha \le 1 - \alpha + \alpha t$

والتساوي متحقق فقط عندما $t = 1$ . إذا جعلنا $\alpha = 1/p$ و $t = a^p b^{ - q}$ فإن

$ab^{ - q/p} \le 1 - \frac{1}{p} + \frac{1}{p}a^p b^{ - q}$

إذا

$ab^{ - q/p} \le \frac{1}{q} + \frac{1}{p}a^p b^{ - q}$

اضرب كلا الطرفين في $b^q$ لتحصل على $ab^{q + ( - q/p)} \le \frac{{b^q }}{q} + \frac{{a^p }}{p}$ وبذلك تثبت متباينة يونغ لأن $q + ( - q/p) = 1$ . التساوي متحقق إذا وإذا فقط $t = 1$ أي عندما $a^p = b^q$

متباينة هولدر Hölder Inequality

مبرهنة 4 (متباينة هولدر): إذا كانت $f \in L_p (\mu ),\;g \in L_q (\mu )$ فإن $fg \in L_1 (\mu )$ وعندئذ $\left\| {fg} \right\|_1 \le \left\| f \right\|_p \left\| g \right\|_q$ , أي

$\int {\left| {fg} \right|d\mu } \le \left( {\int {\left| f \right|^p d\mu } } \right)^{1/p} \left( {\int {\left| g \right|^q d\mu } } \right)^{1/q} \quad (1)$

البرهان:في البداية نأخذ الحالة $p = 1$ . إذا $q = \infty$ ومن الحقيقة1 $\left| {g(x)} \right| \le \left\| g \right\|_\infty \;\;a.e.$ وبالتالي

$\left| {fg(x)} \right| = \left| {f(x)} \right|\left| {g(x)} \right| \le \left\| g \right\|_\infty \left| {g(x)} \right|\;\;a.e.$

وبإجراء التكامل نجد أن

$\int {\left| {fg} \right|d\mu } \le \left\| g \right\|_\infty \int {\left| f \right|d\mu }$

الحالة $1 < p < \infty$ . إذا $1 < q < \infty$ . اجعل

$a = \left| {f(x)} \right|/\left\| f \right\|_p ,\quad b = \left| {g(x)} \right|/\left\| g \right\|_q$

وطبق متباينة يونغ

$\frac{{\left| {f(x)} \right|\left| {g(x)} \right|}}{{\left\| f \right\|_p \left\| g \right\|_q }} \le \frac{1}{p}\frac{{\left| {f(x)} \right|^p }}{{\left\| f \right\|_p^p }} + \frac{1}{q}\frac{{\left| {g(x)} \right|^q }}{{\left\| g \right\|_q^q }}$

بإجراء التكامل

$\frac{{\int {\left| {fg} \right|d\mu } }}{{\left\| f \right\|_p \left\| g \right\|_q }} \le \frac{1}{p}\frac{{\int {\left| f \right|^p d\mu } }}{{\left\| f \right\|_p^p }} + \frac{1}{q}\frac{{\int {\left| g \right|^q d\mu } }}{{\left\| g \right\|_q^q }} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$

اضرب الطرفين في $\left\| f \right\|_p \left\| g \right\|_q$ لتصل لمطلوب.

متباينة منكوسكي Minkowski Inequality

الآن نحن في مرحلة قادرين فيها على إثبات أن الفضاء $L_p (\mu )$ مغلق بالنسبة لعملية الجمع كما سنثبت أن الشرط الثالث من شروط الفضاء المنظم متحقق عليه وذلك بإثبات متباينة منكوسكي.

مبرهنة5 (متباينة منكوسكي): إذا كانت $f,g \in L_p (\mu )$ حيث $1 \le p \le \infty$ فإن $f + g \in L_p (\mu )$ كما أن

$\left\| {f + g} \right\|_p \le \left\| f \right\|_p + \left\| g \right\|_p \quad (1)$

البرهان: افرض ان $f,g \in L_p (\mu )$ . نعلم أن $f + g$ قابلة للقياس. إذا كانت $p = 1$ فإن مكاملة الطرفين في المتباينة المثلثية

$\left| {f(x) + g(x)} \right| \le \left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right|\quad (2)$

ينتج مباشرة أن $f + g \in L_1 (\mu )$ وأن متباينة $(1)$ متحققة.

الحالة $p = \infty$ , بما أن $f,g \in L_p (\mu )$ فإن $\left| {f(x)} \right| \le \left\| f \right\|_\infty \;\;a.e.$ و $\left| {g(x)} \right| \le \left\| g \right\|_\infty \;\;a.e.$ وباستخدام متباينة $(2)$ فإن

$\left| {f(x) + g(x)} \right| \le \left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| \le \left\| f \right\|_\infty + \left\| g \right\|_\infty \;a.e.$

وهذه تقتضي أن $f + g \in L_\infty (\mu )$ وأن $\left\| {f + g} \right\|_\infty \le \left\| f \right\|_\infty + \left\| g \right\|_\infty$ .

الحالة $1 < p < \infty$ . من المتباينة

$\left| {f(x) + g(x)} \right|^p \le \left( {2\max \left( {\left| {f(x)} \right|,\left| {g(x)} \right|} \right)} \right)^p \le 2^p \left( {\left| {f(x)} \right|^p + \left| {g(x)} \right|^p } \right)$

نستنتج أن $\int {\left| {f + g} \right|^p d\mu } \le 2^p \left( {\left\| f \right\|_p^p + \left\| g \right\|_p^p } \right) < + \infty$ إذا $f + g \in L_p (\mu )$ . أيضا لدينا

$\begin{array}{*{20}c} {\left| {f + g} \right|^p } \hfill & { = \left| {f + g} \right|^{p - 1} \left| {f + g} \right|} \hfill \\ {} \hfill & { \le \left| {f + g} \right|^{p - 1} \left| f \right| + \left| {f + g} \right|^{p - 1} \left| g \right|} \hfill \\\end{array}\quad \quad (3)$

لاحظ أن $(f + g)^{p - 1} \in L_q (\mu )$ . بتطبيق متباينة هولدر على الحد الأول من الطرف الأيمن فإن

$\begin{array}{*{20}c} {\int {\left| {f + g} \right|^{p - 1} \left| f \right|d\mu } } \hfill & { \le \left( {\int {\left| {f + g} \right|^{(p - 1)q} d\mu } } \right)^{1/q} \left( {\int {\left| f \right|^p d\mu } } \right)^{1/p} } \hfill \\ {} \hfill & { = \left( {\int {\left| {f + g} \right|^p d\mu } } \right)^{1/q} \left( {\int {\left| f \right|^p d\mu } } \right)^{1/p} } \hfill \\ {} \hfill & { = \left\| {f + g} \right\|_p^{p/q} \left\| f \right\|_p } \hfill \\\end{array}$

بالمثل بالنسبة للحد الثاني سنجد أن

$\int {\left| {f + g} \right|^{p - 1} \left| g \right|d\mu } \le \left\| {f + g} \right\|_p^{p/q} \left\| g \right\|_p$

كامل $(3)$ مع التعويض بهذه النتائج لتجد أن

$\begin{array}{l} \left\| {f + g} \right\|_p^p \le \left\| {f + g} \right\|_p^{p/q} \left\| f \right\|_p + \left\| {f + g} \right\|_p^{p/q} \left\| g \right\|_p \\ = \left\| {f + g} \right\|_p^{p/q} \left( {\left\| f \right\|_p + \left\| g \right\|_p } \right) \\ \end{array}$