العدد e

هناك علاقات رئيسة تستخدم لتعريف e منها :

$\int _ 1 ^ {e} \frac {dx}x = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac 1n \right ) ^ n = e$

$\sum_{n=0} ^ \infty \frac 1 {n!} = e$

هذه التعاريف متكافئة فيما بينها ( أي منها يصلح لتعريف e ) .

تأريخ e

كانت هناك إشارات إليه في أوراق جون نايبير حول اللوغاريثمات ، أول من أشار إلى هذا الثابت هو جاكوب برنوللي .. وقد استخدمه لاحقاً ليبنز ، واستخدمه بعد ذلك أويلر وهو الذي استخدم الرمز e ..

كيف توصل جاكوب برنوللي إلى هذا العدد ؟

يحتاج إلى الأمر إلى شيء من المقدمة في الفائدة المركبة (Compound Interest)..

لنفرض أن شخصاً أودع مبلغاً من المال مقداره x في البنك ، وهذا البنك يعطي فائدة سنوية مقدارها r ، والفائدة تضاف كل سنة .. كيف ذلك ؟

لنفرض أن الرجل ترك مبلغ 100 درهم 5 سنوات بفائدة سنوية 10% .. بعد السنة الأولى .. سيكون المبلغ الكلي :

$100 + 0.1 \times 100 = 110$

أو باستخدام الرموز :

$x_1 = x ( 1 + r )$

في السنة الثانية :

$110 + 0.1 \times 110 = 121$

$x = x (1+r) ( 1+r ) = x (1+r)^2$

وهكذا

في السنة الخامسة سيكون المبلغ 161.051

بشكل عام :: (يمكن إثباته باستخدام الترجع^[م] )

$x_n = x (1+r)^n$

هذا في حالة ما إذا كان الفائدة تضاف سنوياً .. فماذا إن كانت الفائدة تضاف شهرياً ؟

لنفرض أن الرجل ترك الـ 100 لمدة سنة ..

كم نسبة الفائدة لكل شهر ؟ إنها $\frac{0.1} {12}$

كم شهراً في السنة ؟ 12 شهراً ..

لذا سيكون المبلغ في نهاية السنة ..

$x_{12} = x \left ( 1 + \frac { 0.1 } { 12 } \right ) ^ {12 }$

لنفرض أن الفائدة تضاف يومياً .. طبعاً السنة تتكون من 365 يوماً .. والفائدة لكل يوم يمكن إيجادها بالقسمة على 365 أي أن ..

$x_{365} = x \left ( 1 + \frac { 0.1 } {365} \right ) ^ {365}$

ماذا تلاحظ .. لو كانت الفائدة بمقدار r في السنة ، ولكن الفائدة تضاف إلى الحساب n مرة في السنة ، فإن المبلغ في نهاية السنة سيكون ::

$x_n = x \left ( 1 + \frac rn \right ) ^ n$

فكر برنوللي فيما إذا كانت الفائدة 100% سنوياً والمبلغ الأصلي دولاراً واحداً .. فإذا كانت الفائدة تضاف شهرياً فسنحصل على 2.613 تقريباً في نهاية السنة ، وإذا كانت إضافة الفائدة يومية فإن سنحصل على 2.715 تقريباً في نهاية السنة

لاحظ برنوللي أن المتتالية السابقة تتقارب إلى عدد بعينه ..

وإذا كانت الفائدة تضاف بشكل مستمر ( في كل لحظة ) .. فإننا سنحصل على ..

$\lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac 1n \right ) ^ n$