نظرية الأعداد - مقدمة

مـقـدمـــــــــــــــــــــة

يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers ) و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ). تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال : المعادلة : س ² + ص ² = ع ²

$\ x^2 + y^2 = z^2$

لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات : س ³ + ص ³ = ع ³

$\ x^3 + y^3 = z^3$

س ⁴ + ص ⁴ = ع ⁴

$\ x^4 + y^4 = z^4$

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Positive Integers ).

هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس 33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .

حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية (Sequence of primes ) :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........

هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي 350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.

لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، ولم يتم اثباتها سوى في العام 1994 ميلادي

صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه للتالي :

المعادلة : س ^ن + ص ^ن = ع ^ن

$\ x^n + y^n = z^n$

ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) لكل ن > 2

( For every n > 2 ) .

أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه ، و هو أمر استعصى على الرياضيين منذ ذلك الوقت حتى 1994 ، هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري أن نعرضها قبل البدء بالدروس :

النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

$\ 1000^2 = 30^2 + 10^2 + 0^2 + 0^2$

$\ 999^2 = 30^2 + 9^2 + 3^2 + 3^2$

قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture )] أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية (Sum of Four squares ) و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية مجموع المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) .

بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example )واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.

مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال :

مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية أقل منه ، و هذا صحيح .

أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه في عام 1968 :

$\ 144^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5$

على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما تكون النظرية غير مفهومة تماما.

بسم الله الرحمن الرحيمالسلام

قدم بواسطة محمد سعيد رجب عفارة في أربعاء, 12/31/2008 - 19:05

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم و بعد،
منذ سبع سنوات تقريبا أعلن معهد كلاي الأمريكي للرياضيات، من كلية فرنسا، عن مسابقة لحل سبع مسائل في الرياضيات، في مقدمتها الأعداد الأولية، التي يجهل العلماء نظام تواليها، وقد رصد المعهد مليون دولار مكافأة لحل كل مسألة، و كنت أعمل حارسا و الشركة متعطلة بضعة أيام فتوصلت بعون الله الحميد إلى اكتشاف نظام توالي الأعداد الأولية.
و قد أطلقت على النظرية أسم المنازل الخالية للأعداد الأولية، و فيما يلي نصها:
إن إنقطاع العد فرصة لاكتشاف عدد أولي جديد، بإضافة الواحد إلى العدد السابق، و يشع العدد الأولي كل مسافة تساويه، بدءا من منزله، و يضاف عند كل فجوة، كأحد العوامل المكررة، للعدد النقي المتراجع، ثم يشع من جديد بدءا من العدد النقي المجبور، كل مسافة تساويه.و يتكون الجنس الثالث أي الهجين من الأعداد كنتيجة ضرب العوامل المختلفة المتصادفة.
مثال:
1
1..2.
1..2..2..2..2..2..2
بعد العدد 2 تنقطع السلسلة، و هذه فرصة لاكتشاف العدد الأولي التالي بإضافة 1 إلى 2، فيكون الناتج 3
1..2..3..2..
نلاحظ وجود فجوة بعد العدد 3، أي تراجع في مقدار العدد، مما يستوجب إضافة العامل 2، لتتميم العدد النقي 4، و هو2 أس 2،
بدءا من العدد النقي أي المتجانس أو التكون من مكررات عامل و احد، وهنا هو العدد 2، يصير إشعاع جديد للعدد الأولي 2، كل مسافة تساوي العدد النقي 4.
بعد العدد 4 ينقطع العد، و خلو المنزل فرصة لاكتشاف عدد أولي جديد، بإضافة 1 إلى العدد السابق و هو هنا 4، أي نكتشف العدد الأولي 5،
و بدءا من هذا المنزل يصير إشعاع العدد الأولي 5، كل مسافة تساويه، أي كل خمسة منازل أو خطوات عد،
بعد العدد 5، يتصادف العددان 2، 3، لتكوين العدد الهجين الأول، و هو العدد 6.
بعد العدد 6، ينقطع العد، فيؤسس عدد أولي جديد في المنزل الخالي، باضافة الواحد إلى العدد 6، فيكون الناتج العدد 7،
يصير إشعاع العدد 7 كل 7 منازل،
بعد العدد 7، نكتشف فجوة، أو تراجع في مقدار العدد الحالي، و هنا يكون العدد المتراجع هو 4،
فيضاف العامل المكرر أي العدد الأولي 2، لتكوين العدد النقي 2 أس 3، أي 8،
بعد العدد 8 نجد أن المنزل يحتوى على العدد 3 فقط، فيضاف العدد 3، لتكوين العدد النقي 9.
ثم يصير إشعاع العدد الأولي 3 كل 9 منازل،،،،،،،الخ....
محمد سعيد رجب عفارة
إبن رجب الشافعي
31\12\ 008

رد

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.