مقدمة لنظرية الأعداد (Number Theory )

مـقـدمـــــــــــــــــــــة

يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers ) و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ). تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال : المعادلة : س ² + ص ² = ع ²

$\ x^2 + y^2 = z^2$

لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات : س ³ + ص ³ = ع ³

$\ x^3 + y^3 = z^3$

س ⁴ + ص ⁴ = ع ⁴

$\ x^4 + y^4 = z^4$

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Positive Integers ).

هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس 33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .

حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية (Sequence of primes ) :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........

هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي 350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.

لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، ولم يتم اثباتها سوى في العام 1994 ميلادي

صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه للتالي :

المعادلة : س ^ن + ص ^ن = ع ^ن

$\ x^n + y^n = z^n$

ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) لكل ن > 2

( For every n > 2 ) .

أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه ، و هو أمر استعصى على الرياضيين منذ ذلك الوقت حتى 1994 ، هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري أن نعرضها قبل البدء بالدروس :

النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

$\ 1000^2 = 30^2 + 10^2 + 0^2 + 0^2$

$\ 999^2 = 30^2 + 9^2 + 3^2 + 3^2$

قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture )] أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية (Sum of Four squares ) و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية مجموع المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) سنقوم بوضع برهانها في سياق هذه السلسلة من الدروس.

بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example )واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.

مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال : مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية أقل منه ، و هذا صحيح و سيرد البرهان في سياق هذه السلسلة.

أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه في عام 1968 :

$\ 144^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5$

على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما تكون النظرية غير مفهومة تماما.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.