مقدمة لنظرية الأعداد (Number Theory )

مـقـدمـــــــــــــــــــــة

يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers ) و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ). تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال : المعادلة : س ² + ص ² = ع ²

 

لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات : س ³ + ص ³ = ع ³

س ⁴ + ص ⁴ = ع ⁴

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Positive Integers ).

هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس 33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .

حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية (Sequence of primes ) :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........

هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي 350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.

لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، ولم يتم اثباتها سوى في العام 1994 ميلادي

صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه للتالي :

المعادلة : س ^ن + ص ^ن = ع ^ن

ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) لكل ن > 2

( For every n > 2 ) .

أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه ، و هو أمر  استعصى على الرياضيين منذ ذلك الوقت حتى 1994 ، هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري أن نعرضها قبل البدء بالدروس :

النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture )] أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية (Sum of Four squares ) و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية مجموع المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) سنقوم بوضع برهانها في سياق هذه السلسلة من الدروس.

بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example )واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.

مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال : مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية أقل منه ، و هذا صحيح و سيرد البرهان في سياق هذه السلسلة.

أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه في عام 1968 :

على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما تكون النظرية غير مفهومة تماما.