زمرة-p

p-Group

الزمرة التي رتبتها $p^n$ حيث p عدد أولي تسمى زمرة-p.

حقيقة 1: إذا كان G زمرة رتبتها $p^n$ فإن مركزها $Z(G)$ يحتوي على أكثر من عنصر.

الإثبات: خذ معادلة صف الترافق

$\left| G \right| = Z(G) + \sum\nolimits_i {[G:C_G (x_i )]}$

نعلم أن كل حد داخل $\Sigma$ يقسم رتبة G, إذا كل حد في المجموع عبارة قوة للعد الأولي p. بقسمة الطرفين على p نستنتج أن p يجب أن يقسم $Z(G)$ إذا $\left| {Z(G)} \right| > 1$ .

حقيقة 2: كل زمرة G رتبتها $p^2$ هي زمرة إبدالية.

الإثبات: افرض أن G غير ابدالية, إذا $Z(G)$ زمرة فعلية من G. من نظرية لاجرانج ومن حقيقة 1 أعلاه نستنتج أن $p=\left| Z(G) \right|$ وبالتالي $p=\left|G/ Z(G) \right|$ إذا زمرة القسمة $G/ Z(G)$ دائرية وبالتالي G إبدالية انظرهنا
وهذا تناقض إذا الفرض خاطئ وتثبت الحقيقة.