قانون متوازي الأضلاع

Parallelogram Law

إذا كان ABCD متوازي أضلاع فإن مجموع مربعي القطرين يساوي ضعف مجموع مرعي ضلعين متتاليين فيه. أي أن

$\left| {AC} \right|^2 + \left| {BD} \right|^2 = 2\left( {\left| {AB} \right|^2 + \left| {BC} \right|^2 } \right)$

تسمى هذه المتطابقة قانون متوازي الأضلاع.

$متوازي$

سنثبت هذا القانون عن طريق قانون جيب التمام cos في مثلث. بتطبيق قانون جيب التمام على كل من المثلث ABC والمثلث ABD ينتج المتطابقتين التاليتين تواليا

$\left| {AC} \right|^2 = \left| {AB} \right|^2 + \left| {BC} \right|^2 - 2\left| {AB} \right|\left| {BC} \right|\cos B$

$\left| {BD} \right|^2 = \left| {BA} \right|^2 + \left| {AD} \right|^2 - 2\left| {BA} \right|\left| {AD} \right|\cos A$

معلوم أن $\left| {AD} \right| = \left| {BC} \right|$ . كذلك من خصائص متوازي الأضلاع وهذا يقتضي أن

$\cos A = \cos (\pi - B) = - \cos B$

بجمع (1) , (2) مع ملاحظة فإن الحد الثالث في كل معادلة يلاشي نظيره ونحصل على قانون المتوازي.

$\left| {AC} \right|^2 + \left| {BD} \right|^2 = 2\left( {\left| {AB} \right|^2 + \left| {BC} \right|^2 } \right)$

قانون متوازي الأضلاع في فضاء الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي inner product spaces هو الفضاء الخطي المزود بعملية ضرب داخلي حيث u,v متجهين . فإذا عرفنا

$\left\| x \right\|^2 = \langle x,x\rangle$

لأي متجه x في فضاء الضرب الداخلي فإنه وفق هذا التعريف تصح المتطابقة التالية

$\left\| {u + v} \right\|^2 + \left\| {u - v} \right\|^2 = 2\left( {\left\| u \right\|^2 + \left\| v \right\|^2 } \right)$

وتسمى قانون متوازي الأضلاع. وهي بالفعل تعميم لقانون متوازي الأضلاع الهندسي . ربما اقرب مثال لفضاء ضرب داخلي يتضح من خلاله ارتباط هذه المتطابقة بشكل متوازي الأضلاع هو فضاء الضرب الداخلي (القياسي) لمتجهين في المستوي. فإذا كان u, v متجهين في المستوي فإن جمعهما وطرحهما يمثلان القطرين لمتوازي الأضلاع الممثل في الشكل أدناه.

$متوازي أضلاع2$

مسائل

1. بين أن قانون المتوازي يعتبر تعميما لنظرية فيثاغورس, (بمعنى أن نظرية فيثاغورس حالة خاصة من هذا القانون)

2. بين أنه لأي u,v من فضاء ضرب داخلي X فإن

$\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}\left( {\left\| {u + v} \right\|^2 - \left\| {u - v} \right\|^2 } \right)$

$\langle u,v\rangle = \frac{1}{2}\left( {\left\| {u + v} \right\|^2 - \left\| u \right\|^2 - \left\| v \right\|^2 } \right)$

المراجع

1. Geometry, P. abbott

2. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParallelogramIdentity.shtml

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

قانون متوازي الأضلاع

Parallelogram Law

قانون متوازي الأضلاع في فضاء الضرب الداخلي

مسائل

المراجع

التعليقات

مكشوووووووووووووووووووووووور

شكرا عالشرح

الف شكر وتحية من طالب اعدادي

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة