العدد التام

Perfect Number

تعريف العدد التام

العدد التام هو عدد صحيح موجب يساوي مجموع قواسمه الفعلية الموجبة, أي التي أصغر منه. بعبارة أخرى العدد n تام إذا كان $\sigma (n) = 2n$ حيث $\sigma (n)$ مجموع قواسمه(الموجبة). إذا كان $\sigma (n) < 2n$ سمي n عدد ناقص deficient وإذا كان $\sigma (n) > 2n$ سمي n عدد وافر abundant. أول عدد تام هو 6 حيث 6=1+2+3 ويليه العدد التام 28 حيث 28=1+2+4+7+14.

متتابعة الأعداد التامة (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000396) هي

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176,...

لقد برهن إقليدس (سنقدم الإثبات بعد قليل) في كتابه العناصر ما معناه, إذا كان $p = 2^k - 1$ عدد أولي فإن $\frac{{p(p + 1)}}{2}$ عدد تام. طبق هذه الحقيقة على العدد الأولي $31 = 2^5 - 1$ تحصل على العدد التام $496$ وهو الحد الثالث في متتابعة الأعداد التامة.

حقيقة1: إذا كان N عدد تام فإن $\sum\limits_{d|N} {\frac{1}{d} = 2}$ .
البرهان: لاحظ أن التجمع $\{ d:d|N\}$ هو نفسه التجمع $\{ N/d:d|N\}$ لذلك

$2N = \sum\limits_{d|N} d = \sum\limits_{d|N} {\frac{N}{d}} = N\sum\limits_{d|N} {\frac{1}{d}}$

تمييز العدد التام الزوجي

نظرية2 (اقليدس, العناصر IX-36): إذا كان $p = 2^k - 1$ عد أولي فإن $N = 2^{k - 1} (2^k - 1)$ عدد تام.

البرهان: واضح أن قواسم N الأولية هي $2,\;2^k - 1$ فقط. إذا قواسمه الموجبة هي

$1,2,2^2 , \ldots ,2^{k - 1} ,2^k - 1,2(2^k - 1),2^2 (2^k - 1), \ldots ,2^{k - 1} (2^k - 1)$

وحيث $2^m + 2^m (2^k - 1) = 2^{m + k}$ فإن

$\sigma (N) = 2^k + 2^{k + 1} + \cdots + 2^{2k - 1} = 2^k \left( {\frac{{2^k - 1}}{{2 - 1}}} \right) = 2N$

طريقة أخرى:
باستخدام حقيقة أن $\sigma (n)$ دالة^[م] ضربية, أي أن $\sigma (mn) = \sigma (m)\sigma (n)$ لكل $(m,n) = 1$ يكون لدينا

$\sigma (N) = \sigma (2^{k - 1} )\sigma (2^k - 1) = \left( {\frac{{2^k - 1}}{{2 - 1}}} \right)2^k = 2N$

أكمل أويلر الصورة التي بدأها إقليدس وذلك بإثباته العكس. أي أن كل عدد تام زوجي يجب أن يكون على الصورة $\frac{{p(p + 1)}}{2}$ حيث $p = 2^k - 1$ عدد أولي. هذه الحقيقة أدركها ابن الهيثم قبله بقرن من الزمان لكنه لم يستطع تقديم البرهان عليها في ذلك الوقت.

نظرية3 (أويلر): إذ كان N عدد زوجي تام فإنه يمكن كتابته بالشكل $N = 2^{k - 1} (2^k - 1)$ حيث $p = 2^k - 1$ عدد أولي.
البرهان: البرهان الذي نقدمه الآن أسهل نوعا ما من برهان أويلر.افرض أن n عدد زوجي تام. إذا $N = 2^{k - 1} m$ حيث m عدد فردي. بما أن $(2^{k - 1} ,m) = 1$ فإن

$\sigma (2^{k - 1} m) = \sigma (2^{k - 1} )\sigma (m) = \frac{{2^k - 1}}{{2 - 1}}\sigma (m) = (2^k - 1)\sigma (m)$

ولكن $\sigma (2^{k - 1} m) = 2^k m$ لكونه عدد تام. بالمقارنة ينتج لنا

$(2^k - 1)\sigma (m) = 2^k m\quad (1)$

وبالتالي

$\sigma (m) = \frac{{2^k m}}{{2^k - 1}} = \frac{{(2^k - 1)m + m}}{{2^k - 1}} = m + \frac{m}{{2^k - 1}} = m + q$

حيث $q = \frac{m}{{2^k - 1}}$ . واضح أن q عدد صحيح لأن كلا من $\sigma (m),m$ عدد صحيح. إذا $q|m$ وحيث أن

$\sigma (m) = m + q$

فإنه لابد أن يكون $q = 1$ . إذا مجموع قواسم m الموجبة يساوي $m + 1$ مما يثبت أن m أولي. عوض الآن عن $\sigma (m)$ في المعادلة (1) لينتج مباشرة أن $m = 2^k - 1$ ويثبت المطلوب.

نظرية أويلر-اقليدس

بضم النظريتين لبعضهما نحصل على ما تسمى نظرية أويلر-اقليدس.
نظرية4 (أويلر-اقليدس): العدد الزوجي N عدد تام إذا وإذا فقط أمكن كتابته بالشكل $N = 2^{k - 1} (2^k - 1)$ حيث $p = 2^k - 1$ عدد أولي.

خصائص العدد التام الزوجي

أول الخواص التي نريد إثباتها - وهي ناتج مباشر من نظرية أويلر أعلاه - أن العدد التام الزوجي هو عدد مثلثي.

حقيقة5: كل عدد زوجي تام N هو عدد مثلثي.
البرهان: تذكر العدد المثلثي T هو حاصل جمع الأعداد الطبيعية إلى عدد معين^[م]. بما أن

$1 + 2 + 3 + \cdots + (q - 1) + q = \frac{1}{2}q(q - 1)$

فإن للعدد المثلثي الصورة $\frac{1}{2}q(q - 1)$ . الآن من نظرية أويلر ينتج مباشرة أن لدينا أن N عدد مثلثي لأن

$N = 2^{k - 1} (2^k - 1) = \frac{1}{2} * 2^k (2^k - 1)$

اشطب N من الطرفين تصل للمطلوب.

العدد التام الزوجي يرتبط مع القوة الثالثة للأعداد الفردية بعلاقة جميلة وهذه بعض الأمثلة.

$\begin{array}{*{20}c} {28} \hfill & { = 2^2 (2^3 - 1)} \hfill & { = 1^3 + 3^3 } \hfill \\ {496} \hfill & { = 2^4 (2^5 - 1)} \hfill & { = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 } \hfill \\ {8128} \hfill & { = 2^6 (2^7 - 1)} \hfill & { = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3 } \hfill \\\end{array}$

بشكل عام كل عدد تام زوجي اكبر من 6 عبارة عن مجموع أول $2^{(n - 1)/2}$ مكعبات أعداد فردية وهذا ما سنثبته الآن.

حقيقة6: إذا كان $N = 2^{k - 1} (2^k - 1)$ عدد تام فإن

$N = 1^3 + 3^3 + \cdots + (2^{(n - 1)/2} - 1)^3$

البرهان: ليس سوى عمليات جبرية معتمدة على القانون المعروف

$\sum\limits_{k = 1}^n {k^3 } = \left( {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right) = \frac{{n^2 (n + 1)^2 }}{4}$

افرض أن $m = 2^{(n - 1)/2}$ . إذا

$\begin{array}{*{20}c} {1^3 + 3^3 + \cdots + (2m - 1)^3 } \hfill & { = \left( {1^3 + 2^3 + \cdots + (2m - 1)^3 } \right) - \left( {2^3 + \cdots + (2m)^3 } \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = \frac{{(2m - 1)^2 (2m)^2 }}{4} - 2^3 \frac{{m^2 (m + 1)^2 }}{4}} \hfill \\ {} \hfill & { = m^2 (2m - 1)^2 - 2m^2 (m + 1)^2 } \hfill \\\end{array}$

إذا

$1^3 + 3^3 + \cdots + (2m - 1)^3 = m^2 (2m^2 - 1) = 2^{n - 1} (2^n - 1)$

حقيقة7: كل عدد زوجي تام N ينتهي بالرقم 8 أو 6.
البرهان: بالنسبة لأول عدد زوجي تام 6 النتيجة^[م] واضحة. فيما عدا ذلك تذكر, إذا كان $2^n - 1$ عدد أولي فإن n عدد أولى. أيضا كل عدد أولي $p > 2$ يكون على الشكل $p = 4k + 1$ أو الشكل $p = 4k + 3$ . إذا العدد التام $N = 2^{n - 1} (2^n - 1)$ له الشكل $N = 2^{4k} (2^{4k + 1} - 1)$ أو الشكل $N = 2^{4k + 2} (2^{4k + 3} - 1)$ .

في الشكل الأول وباستخدام التطابق $16^k \equiv 6^k \equiv 6\;(\bmod 10)$ والذي يمكن التحقق منه استقرائيا نجد أن:

$N = 2^{4k} (2^{4k + 1} - 1) = 16^k (2 \cdot 16^k - 1) \equiv 6(2 \cdot 6 - 1) \equiv 6\;(\bmod 10)$

بالمثل في الشكل الثاني

$N = 2^{4k + 2} (2^{4k + 3} - 1) = 4 \cdot 16^k (8 \cdot 16^k - 1) \equiv 4 \cdot 6(8 \cdot 6 - 1) \equiv 8\;(\bmod 10)$

ننهي هذه الحقائق بهذه الخاصية الجميلة في تمثيل العدد الزوجي التام في النظام الثنائي, نبدأ ببعض الأمثلة

$6 = 110_2 ,\quad 28 = 11100_2 ,\quad 496 = 111110000_2$

حقيقة8: إذا كتب العدد الزوجي التام $N = 2^{n - 1} (2^n - 1)$ بالاستخدام الأساس^[م] 2 فسيكون لهذا التمثيل $2n - 1$ خانة. الخانات $n - 1$ الأولى جميعها صفرا والخانات $n$ المتبقية جميعها للوحدة.

يسهل تذكر هذه الحقيقة بمقارنة عدد خانات الصفر والوحدة مع الأسس $n,\;n - 1$ في العدد التام N.

البرهان: يعتمد على ملاحظة أن $2^m - 1$ في النظام الثنائي يتكون من m خانة كلها للوحدة وذلك لأن

$2^m - 1 = 1 + 2 + \cdots + 2^{m - 1} = 1 \cdots 11_2$

إذا

$N = 2^{2n - 1} - 2^{n - 1} = (2^{2n - 1} - 1) - (2^{n - 1} - 1) = 1 \cdots 1100 \cdots 0_2$

حيث الطرف الأيمن مكون من $n - 1$ خانة للصفر يليها n خانة للوحدة.

العدد التام الفردي

لا يعرف لحد اليوم ما إذا كان هناك عدد تام فردي أم لا. وتعتبر هذه من أقدم مسائل الرياضيات التي تنتظر جوابا. هناك مساهمات عديدة في هذا الجانب بإجابات جزئية أو غير مباشرة كإيجاد حد أدنى لها بمعنى أن تكون الأعداد ما قبله خالية من أي عدد فري تام أو تحديد خواص معينة للأعداد الفردية التامة. فيما يلي سرد لعض هذه المساهمات

لكي يكون العدد الفردي N تام يجب أن يحقق ما يلي:
1) أن يكون $N = p^\alpha q_1^{2e_1 } \cdots q_k^{2e_k }$ حيث $p,q_1 \cdots ,q_k$ أولية مختلفة و $p \equiv \alpha \equiv 1(\bmod 4)$ .
2) أن يكون $N > 10^{300}$ ومازال البحث جاريا للبحث عن حد أكبر.
3) إذا كان p أكبر قاسم أولي للعدد N فإن $p > 10^8$ .
4) ) أن يكون للعدد N تسعة عوامل أولية مختلفة على الأقل.
5) أن يكون N على إحدى الصور $12m + 1{\rm{ or }}324m + 81{\rm{ or }}468m + 117$ . أثبتت هذه الحقيقة في العام 2008 ميلادي.

إضافات

هنا بعض القائق في الأعداد التامة نذكرها بدون إثبات:

1) الجمع المكرر لخانات العدد الزوجي التام ينتهي إلى 1.
2) أثبت أور Ore أن كل عدد تام هو عدد توافقي.
3) العدد الزوجي التام الوحيد الذي على الصورة $x^3 + 1$ هو 28 فقط.

مراجع

http://www.oddperfect.org
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number
PERFECT NUMBERS: AN ELEMENTARY INTRODUCTION, JOHN VOIGHT, Department of Mathematics, University of California, Berkeley

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.