الصورة القطبية للعدد المركب

Polar Form of Complex Number

إضافة إلى الصورة الكارتيزية $z = a + ib$ للعدد المركب z هناك صورة أخرى لتمثيله تسمى الصورة القطبية تعطى بالصورة

$z = r(\cos \theta + i\sin \theta )$

حيث $r = \left| z \right| = \sqrt {a^2 + b^2 }$ مقياس أو طويلة العدد z الذي والزاوية $\theta$ سعة (زاوية) العدد المركب z. هناك عدد غير منتهي من الزوايا يمكن أن تمثل بها السعة $\theta$ والفرق بين أي قيمتين منهما عبارة عن مضاعف للعدد $2\pi$ . لذلك فإن الصورة القطبية للعدد المركب ليست وحيدة. قيمة الزاوية $\theta$ التي تحقق العلاقة

$- \pi < \theta \le \pi$

تسمى السعة الرئيسية ويرمز لها $Arg(z)$ . إذا اقتصرنا في تمثيل العدد المركب على السعة الرئيسية فإن التمثيل القطبي للعدد المركب z يكون وحيدا كما تبين الحقيقة التالية.

حقيقة 1: يتساوي عددين مركبين ليس أحد منهما صفر ومكتوبان في الصورة القطبية إذا وإذا فقط كان لهما نفس المقياس ونفس السعة الرئيسية.

العلاقة بين التمثيل الكارتيزي والقطبي
هناك علاقات معروفة تمكن من تحويل العدد من صورة قطبية إلى كارتيزية والعكس وهي:

$r = \sqrt {a^2 + b^2 }$

$x = r\cos \theta ,\quad y = r\sin \theta ,\quad \frac{y}{x} = \tan \theta$

الضرب والقسمة باستخدام الصورة القطبية
قوانين ضرب وقسمة الأعداد المركبة أسهل من تلك المناظرة لها في حالة التمثيل الكارتيزي. إذا كان

$\begin{array}{l} z_1 = r_1 (\cos \theta _1 + i\sin \theta _1 ) \\ z_2 = r_2 (\cos \theta _2 + i\sin \theta _2 ) \\ \end{array}$

فإن

$z_1 z_2 = r_1 r_2 \left( {\cos (\theta _1 + \theta _2 ) + i\sin (\theta _1 + \theta _2 )} \right)$

$z_1 /z_2 = r_1 /r_2 \left( {\cos (\theta _1 - \theta _2 ) + i\sin (\theta _1 - \theta _2 )} \right)$

وكحالة خاصة من قانون القسمة فإن المعكوس الضربي للعدد $z = r(\cos \theta + i\sin \theta )$ هو

$z^{ - 1} = r(\cos \theta - i\sin \theta )$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الصورة القطبية للعدد المركب

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة