حلقة الحدوديات على حقل

Polynomial Ring on The Field

الحدوديات على حقل

سنناقش هنا شيئا من الخواص التي تتمتع بها حلقة الحدوديات $F[x]$ عندما يكون F حقلا. سبق وبينا أنه إذا كانت R حلقة تامة فكذلك $R[x]$ وبما أن كل حقل هو حلقة تامة فإن $F[x]$ حلقة تامة وعلى وجه الخصوص إذا كانت $f,g$ حدوديتين من الحلقة $F[x]$ فإننا نؤكد على ما يلي

1) إذا كانت $f(x)g(x) = 0$ فإن $f(x) = 0$ أو $g(x) = 0$ .

2) إذا كانت $h(x)$ حدودية غير صفرية وكانت $h(x)f(x) = h(x)g(x)$ فإن $f(x) = g(x)$ وهذه هي النسخة الخاصة بحلقات الحدوديات من قانون الإختصار.

مبرهنة1: إذا كان F حقل فإن $F[x]$ حلقة إقليدية.

البرهان: باعتبار F حلقة تامة فإن $F[x]$ حلقة تامة. لأي $f \ne 0$ من $F[x]$ عرف $N(f) = \deg f$ . بما أن

$\deg (fg) = \deg f + \deg g \ge \deg f$

فإن $N(f) \le N(fg)$ . خوارزمية اقليدس متحققة من مبرهنة خوارزمية القسمة أعلاه وهذا ينهي الإثبات.

بما أن كل حلقة إقليدية هي حلقة مثاليات رئيسية فإن $F[x]$ تحقق جميع خصائص منطقة مثالية رئيسية ونذكر هنا بعض من هذه الخصائص

(1) الحلقة $F[x]$ هي منطقة مثالية رئيسية, هذه نتيجة من كونها حلقة إقليدية كما يمكن إثباتها باستقلال باختيار حدودية g من المثالية $I \ne 0$ لها درجة صغرى. كل f من I لها الصورة $f = qg + r$ وذلك بموجب خوارزمية القسمة وبالتالي r ينتمي إلى I وهذا يقتضي $r = 0$ لأن g له الدرجة الأصغر في I.

(2) كل مثالية غير صفرية في $F[x]$ أعظمية إذا وإذا فقط كانت أولية.

(3) كل حدودية غير ثابتة تكون غير قابلة للتحليل إذا وإذا فقط كانت أولية

تتمتع الحلقة $F[x]$ بالعديد من الخصائص الجبرية المستمدة من خصائص الحقل F. الشيء الوحيد الذي يمنع $F[x]$ من أن تكون حقلا هو إخفاقها في توفير المعكوس الضربي لكل عناصرها وفي الحقيقة العناصر القابلة للانعكاس في $F[x]$ هي فقط الحدود الثابتة وهذا ما سنناقشه الآن.

حقيقة2: إذا كان F حقلا وكانت $p(x) \in F[x]$ فإن للحدودية p معكوس إذا وإذا فقط $\deg p = 0$ .

البرهان: بما أن F حقل فكل حدودية ثابتة وغير صفرية $p(x) = a$ لها معكوس $q(x) = a^{ - 1}$ . في المقابل إذا كانت $p(x)$ حدودية لها معكوس $q(x)$ فإن $p(x)q(x) = 1$ وبالتالي