قوة نقطة

Power of Point

لتكن P نقطة خارج دائرة. ويمر بها مستقيمان يقطعان الدائرة. هنا سيكون لدينا حالتين كماهو مبين في الرسم. في كل حالة من تتحقق المساواة التالية

في الدائرة الأولى من اليسار المثلثان PAC, PDP متشابهان بواسطة تساوي زاويتان من الأول مع زاويتين من الثاني . وينتج من هذا التشابه أن

وتسمى هذه النتيجة نظرية القواطع المتقاطعة Intersecting Secants Theorem.

هذه العلاقة تبقى متحققة حتى عندما يتحرك القاطع PD ليصبح مماس. في هذه الحالة النقطتين C,D تتحرك باتجاه بعضهما وتنطبقان عندما يصبح القاطع PCD مماس. وباستخدام تشابه المثلثات نجد

المقدار  يسمى قوة النقطة P (power of the point) بالنسبة للدائرة. واضح ان هذا المقدار مستقل عن الموضع الهندسي للقواطع ويعتمد فقط على الدائرة والنقطة P.

عندما نصل P بمركز الدائرة O ونصل نصف القطر OP فمن نظرية فيثاغورس ينتج لنا مباشرة العلاقة التالية التي تبين بوضوح اعتماد قوة النقطة P على النقطة نفسها (من خلال بعدها عن المركز) وعلى الدائرة من خلال نصف قطرها r.

قوة النقطة عندما تكون P داخل الدائرة

عندما تكون P داخل الدائرة فإن المثلثان PAD, PBC  متشابهان وينتج لنا نفس المساواة السابقة , أي

ويطلق على هذه النتيجة اسم نظرية الأوتار المتقاطعة Intersecting Chords Theorem. القيمة المشتركة للضرب في الطرفين تسمى أيضا قوة النقطة P بالنسبة للدائرة.

باختصار إذا كان هناك مستقيم يمر بالنقطة P التي لا تقع على الدائرة ويقطع الدائرة في A,B فإن قوة النقطة P من وجهة النظر الهندسية هي حاصل الضرب

واتضح فيما سبق أن هذا الضرب مستقل عن مكان تواجد النقطه P في الموضع المسموح به.

تعريف قوة النقطة جبريا:

من الناحة الجبرية تعرف قوة النقطة P بالنسبة للدائرة التي مركزها O ونصف قطرها r على أنها المقدار

ويتفق هذا التعريف مع التعريف الهندسي في حالة P خارج الدائرة , اما إذا كانت P داخل الدائرة فإن قوتها (جبريا) بالنسبة للدائرة تكون سالبة.

مسائل

* بين أن عكس نظرية الأوتار المتقاطعة صحيح, اثبت أنه إذا كانت P نقطة تقاطع القطعتين AB , CD بحيث  فإن النقاط A,B,C,D  تقع على دائرة واحدة.