مقدمة في مقياس لوبيج (لوبيغ)

مقدمة في مقياس لوبيج(لوبيغ)

Preface of Lebesgue's Measure

مقياس لوبيج يعتبر تعميم لمفهوم الطول الخاص بالفترات. مقياس لوبيغ لمجموعة E يمكن أن ننظر إليه كما لو كان طولا للمجموعة. باستخدام مقياس لوبيغ والمجموعات القابلة للقياس يمكن تقديم نظرية تكامل ذات خواص أغني بكثير من تكامل ريمان الذي لا يمكن الحديث عنه خارج الفترات الحقيقية.

بطبيعة الحال نتمنى أن يكون m غنيا بالخواص مثل:

1) أن يكون قابل للتطبيق على أي مجموعة E من $\mathbb{R}$ , أي $\mathfrak{M} = P(\mathbb{R})$

2) أن يكون مقياس أي فترة E مساوي لطولها أي $m(E) = L(E)$ حيث $L(E)$ طول الفترة.
3) أن يكون لا متغير الإزاحة Translation Invariant أي $m(E) = m(a + E)$ وذلك لكل حقيقي a حيث

$a + E = \{ a + x:x \in E\}$ .

ولكن للأسف, مقياس لوبيغ لا يحقق جميع هذه الخواص الإضافية. بكلام أدق إذا اعتمدنا [[فرضية الاستمرارية]] continuum hypothesis (التي تقرر أن أي مجموعة جزئية وغير عدودة (غير قابلة للعد) من $\mathbb{R}$ يمكن وضعها في تقابل مع $\mathbb{R}$ ) فإنه لا يوجد مقياس يحقق هذه الخواص كما أنه لا يعرف حتى الآن مقياس يحقق الخواص 1) و 2) معا. فيما بعد سنثبت أن مقياس لوبيغ يحقق 1) , 3) وعليه فإن -الجبرا $\mathfrak{M}$ التي سيطبق عليها مقياس لوبيغ لا تحوي كل المجموعات الجزئية من $\mathbb{R}$ كما سنثبت لاحقا.

خطوات بناء مقياس لوبيغ

بناء مقياس لوبيج (أو لوبيغ) Lebesgue Measure وبناء سيجما الجبرا $\mathfrak{M}$ التي سيعرف عليها هذا المقياس يحتاج الكثير من العمل من أجل لذلك هذا ملخص بأهم الخطوات. سنبدأ بتعريف ما يسمى المقياس الخارجي للوبيغ $m^*$ والمعرف لكل مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية ومداه $[0,\infty ]$ . بدراسة خواص هذا المقياس الخارجي نجده يحقق $m^* (\emptyset ) = 0$ ونجده شبه جمعي بقابلية عد countably subadditive هذا يعني إذا كان $\{ A_n \}$ تجمع قابل للعد من مجموعات جزئية من الأعداد الحقيقية فإن

$m^* \left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n } } \right) \leqslant \sum\limits_{n = 1}^\infty {m^* (A_n )}$

ولكن مع الأسف , حتى لو كان التجمع $\{ A_n \}$ لمجموعات منفصلة ليس بالضرورة أن يتحقق التساوي, بمعنى أوضح $m^*$ ليس مقياس. للتغلب على هذا القصور تم بناء تجمع $\mathfrak{M}$ جزئي من $P(\mathbb{R})$ بحيث أن كل مجموعة فيه E والتي نسميها مجموعة قابلة للقياس تحقق الشرط

$m^* (T) = m^* (T \cap E) + m^* (T \cap E^c )$

وذلك لأي مجموعة جزئية T. تحت هذا الشرط يتضح ومن عدة حقائق يتم برهنتها أن $\mathfrak{M}$ تشكل -الجبرا وأن m مقتصر $m^*$ على $\mathfrak{M}$ يمثل مقياس وهذا هو مقياس لوبيغ.

الآن إلى الخطوة الأولى في بناء مقياس لوبيج: مقياس لوبيج الخارجي

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

مقدمة في مقياس لوبيج (لوبيغ)

مقدمة في مقياس لوبيج(لوبيغ)

Preface of Lebesgue's Measure

خطوات بناء مقياس لوبيغ

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة